山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩

©山东理工大军 .:. 4= a→ kaj =A2 显然，向量组1，.，kC,.,am 可以由向量组C1).,C,Cm 线性表示； 而向量组01).，C)“,Cm 也可以由向量组a1,.,kC,.,0m线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， .A的行秩=A,的行秩，即A的行秩不变 上页 回

1 1 2 i kr i i m m A A k                   = ⎯⎯→ =                     显然，向量组 1 , , , , i m    k 可以由向量组 1 , , , ,    i m 线性表示； 而向量组 1 , , , ,    i m 也可以由向量组 1 , , , , i m    k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩，  A的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变

©夕东理工大军 (3)非零常数k乘以第行后加到第行上 a 显然，A,中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 a =A3 a;+ka; 而A的行向量组可以由 A中的行向量组线性表示。 m 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 j i i i r kr j j i m m A A k          +                     = ⎯⎯⎯→ =         +             显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

④少本理工大军 工 定理2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关 系。 (列) (行) 举例说明 例1设矩阵 0 列向量组有线性关系44=41+242一43 矩阵A经过有限次初等行变换得到B,则矩阵B的列向 量A,P,B,B,间也有线性关系 B4=B1+2B2-B3 回

定理2.4.2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量间的线性关 系。 （列） （行） 举例说明 例1 设矩阵           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A 列向量组有线性关系 a4 = a1 + 2a2 − a3 矩阵A经过有限次初等行变换得到B, 则矩阵B的列向 量 2 a 4 a 3 a a1 1 2 3 4     , , , 间也有线性关系  4 = 1 + 2 2 −  3

解：对矩阵A作初等变换如下 11 1 30 4= 30 02-1 10 2 -1 602 4 0 -6 -16 4 11 3 3+3 3 0 2 -1 0 -1 00 -19 0 0 1 -1 1 103） 1 0 3 020 4 0 0 2 001 -1 0 回

解:对矩阵A作初等变换如下           = − 6 0 2 4 0 2 1 5 1 1 3 0 A           − − − 0 6 16 4 0 2 1 5 1 1 3 0 r3 6r1 ～ − r3 3r2 ～ +           − − 0 0 19 19 0 2 1 5 1 1 3 0        − 19 1 3 r ～           − − 0 0 1 1 0 2 1 5 1 1 3 0 1 3 2 3 r 3r r ～ r − +           0 0 1 − 1 0 2 0 4 1 1 0 3 2 1 r2  ～           0 0 1 − 1 0 1 0 2 1 1 0 3

©少本理工大军 B B B: O 1 显然 B4=B1+2P2-B3 推论：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 上页 区回

r1 r2 ～ −           0 0 1 − 1 0 1 0 2 1 0 0 1 1  2  3  4 显然  4 = 1 + 2 2 −  3 推论：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行）