求电场所作的功W.解：设点M(xyz)的向径OM=,即=xi++zk，==+y+22根据库伦定律，位于点M处的单位正电荷受到的电场力F=-rAr.ds因此所求的功为W=「F.ds=「β(xx' + yy' +zz')dtxdx + ydy + zdz(x2 + y2 +22)(x2 + y2 +22)(β)dr11.2r(α)r(β)其中r(α),r(β)分别是点A和B到原点的距离例7.计算Φdx+dy其中ABCDA为x|+1y=1,取逆时针方向ABCDA/x/+1y解：法一直接化为定积分计算，由曲线积分的性质.则B(0, 1)q ={+[+[+[ABBCCDDAABCDA-x+y=lx+y=l dx + dydx+dydx+dyrdx+dyxy+1xy+1xy+1xy+1CDDAC(-1,0)OA(1,0)xdx+dxdx+dx-x(1+x)+1Jo x(1- x)+1-y=1-x-y=ldxD(0,-1)dx+21=2/x=t0Jo x(1- x)+1-x(1+ x)+1法二利用对称性质，将原式分成两部分，即dxdy+ 原式=ABCDA/xy/+1ABCDA/xy/+1dx对d曲线关于×轴对称，L在上半部分ABCDA/xy/+1的走向与L在下半部分的走向相反dxd被积函数为y的偶函数，=0ABCDA/xy|+1dy对 d曲线关于y轴对称，ABCDA/xy|+1
求电场所作的功 W. 解：设点 M(x,y,z) 的向径OM r = , G 即 r xi yj zk = ++ , G G G G 2 22 rr x y z == + + || . G 根据库伦定律, 位于点 M 处的单位正电荷受到的电场力 3 q F r r = G G 因此所求的功为 3 d d q W Fs rs r Γ Γ = ⋅= ⋅ ∫ ∫ G G GG 3 2 22 2 ddd ( ) x x yy zz q xyz Γ + + = + + ∫ 3 2 22 2 ( )d ( ) xx yy zz t q xyz β α ′ + ′ ′ + = + + ∫ ( ) 2 ( ) d 11 () () r r r q q r rr β α α β ⎡ ⎤ = =− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 其中 r r ( ), ( ) α β 分别是点 A 和 B 到原点的距离. 例 7． d d , | |1 ABCDA x y xy + + 计算 v∫ 其中 ABCDA 为| | | | 1, x y + = 取逆时针方向. 解：法一 直接化为定积分计算, 由曲线积分的性质.则 ABCDA AB BC CD DA = +++ v∫ ∫∫∫∫ dd dd dd dd 1 11 1 AB BC CD DA x y xy xy xy xy xy xy xy ++++ =+++ + −+ + −+ ∫∫∫∫ 1 1 0 0 dd dd (1 ) 1 (1 ) 1 x x xx xx xx − + + = + − ++ −+ ∫ ∫ 1 1 0 0 d d 2 2 (1 ) 1 (1 ) 1 x x xx xx − = + − ++ −+ ∫ ∫ x = −t 0 法二 利用对称性质, 将原式分成两部分,即 原式 d | |1 ABCDA x xy = + v∫ d | |1 ABCDA y xy + + v∫ d | |1 ABCDA x xy + 对 v∫ 曲线关于 x 轴对称, L 在上半部分 的走向与 L 在下半部分的走向相反, 被积函数为 y 的偶函数. ⇒ d | |1 ABCDA x xy = + v∫ 0 d | |1 ABCDA y xy + 对 v∫ 曲线关于 y 轴对称, −x + = y 1 x + = y 1 − x − = y 1 x − = y 1 A(1,0) B(0,1) C( 1,0) − D(0, 1) − O x y
L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反，被积函数为x的偶函数dyud=0ABCDA/xy/+1dx + dyd所以,=0ABCDA/xy/+1例8.把对坐标的曲线积分[P(x,y)dx+Q(x,y)dy化为对弧长的曲线积分。其中L为沿抛物线y=x从点(0,0)到(1,1)12x解：T=(l,2x),cosα=,cosBV1+4x2/1+4x2所以 [P(x,)dx+(x,)dy =(,)+2sV1+4x2练习：1计算(I)【,x2dy+2xydx.，其中L为（1)的抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,)段弧。（2）抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧。（3)有向折线DAB，这里O,A,B依次是点(0,0)，(1,0)，(1,1)结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。2计算[x dx+3zy~dy-xydz「从点 A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB3．两类曲线积分的关系设有向曲线弧L的起点A终点B取弧长AM=s为曲线弧L的参数。AB=1则[x = x(s)0≤s≤l(y= y(s)若x(s),J(s)在上具有一阶连续导数，P,Q在L上连续，则[, Pdx + Qdy-I(P[x(s),以(s)+[x(s),()aydsdsI" (P[x(s), y(s)]cosaα + Q[x(s), y(s)]sin β)dsdx，sinβ=兴是L的切线向量的方向余弦，且切线向量与L 的方向一致，其中cosα：dsds又[,(Pcosα +Qsin β)ds=I'(P[x(s), y(s)]cosα +Q[x(s), J(s)]sin β)ds
L 在右半部分的走向与 L 在左半部分的走向相反, 被积函数为 x 的偶函数. d | |1 ABCDA y xy ⇒ = + v∫ 0 所以, d d 0 | |1 ABCDA x y xy + = + v∫ 例 8．把对坐标的曲线积分 ( , )d ( , )d L Pxy x Qxy y + ∫ 化为对弧长的曲线积分. 其中 L 为沿 抛物线 2 y = x 从点(0,0)到(1,1). 解： 2 2 1 2 (1,2 ),cos ,cos . 14 14 x T x x x == = α β + + G 所以 ( , )d ( , )d L Pxy x Qxy y + ∫ 2 ( , ) ( , )2 d L 1 4 Pxy Qxy x s x + = + ∫ 练习：1 计算(1) 2 . 2 ∫ + L x dy xydx ，其中 L 为（1）的抛物线 2 y = x 上从O(0,0)到 B(1,1) 一 段弧。（2）抛物线 2 x = y 上从O(0,0)到 B(1,1) 的一段弧。（3）有向折线 DAB ，这里O, A, B 依次是点(0,0) ，(1,0) ，(1,1) 结论：起点，终点固定，沿不同路径的积分值相等。 2 计算 x dx zy dy x ydz 3 2 2 + 3 − ∫Γ Γ 从点 A(3,2,1) 到点 B(0,0,0) 的直线段 AB 3． 两类曲线积分的关系 设有向曲线弧 L 的起点 A 终点 B 取弧长 AM = s 为曲线弧 L 的参数。 AB = l 则 ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ) ( ) y y s x x s 0 ≤ s ≤ l 若 x(s), y(s) 在 上具有一阶连续导数， P,Q 在 L 上连续，则 ∫ + L Pdx Qdy = ds ds dy Q x s y s ds dx P x s y s l { [ ( ), ( )] [ ( ), ( )] } 0 + ∫ = P x s y s Q x s y s ds l { [ ( ), ( )]cos [ ( ), ( )]sin } 0 α + β ∫ 其中 ds dx cosα = ， ds dy sin β = 是 L 的切线向量的方向余弦，且切线向量与 L 的方向一致， 又 P Q ds ∫L ( cosα + sin β ) = P x s y s Q x s y s ds l { [ ( ), ( )]cos [ ( ), ( )]sin } 0 α + β ∫ o A y x M B L
:. J, Pdx +Qdy=f,(Pcosα +Qsin β)ds同理对空间曲线：Pdx+Qdy+Rdz=(Pcosα+Qcosβ+Rcosy)dsα,β,为T在点(x,y,z)处切向量的方向角，用向量表示：[Adr=[A·tdsA=(P,O,R)，i=(cosα,cosβ,cos为P上(z,y,2)主单位切向量，dr=tds(dx,dy,dz)为有向曲线元小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质2.对坐标的曲线积分的计算3.两类曲线积分的关系作业：
∴ ∫ + L Pdx Qdy = P Q ds ∫L ( cosα + sin β ) 同理对空间曲线Γ ： ∫ + + L Pdx Qdy Rdz = P Q R ds ∫L ( cosα + cos β + cosγ ) α,β,γ 为Γ 在点(x, y,z) 处切向量的方向角，用向量表示： Adr = A⋅tds ∫Γ ∫Γ A = {P,Q, R}，t = {cosα, cos β, cosγ }为 P 上(z, y,z) 主单位切向量， d r = tds{dx, dy, dz}为有向曲线元 小结：1.对坐标的曲线积分概念和性质 2. 对坐标的曲线积分的计算 3.两类曲线积分的关系 作业：
$10.3Green公式教学目的：理解和掌握Green公式及应用教学重点：Grenn公式教学难点：格林公式的应用教学内容：一、Green公式1.单连通区域。设D为单连通区域，若D内任一闭曲线所围的部分都属于D。称D为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面D的边界曲线L的方向，当观看者沿L行走时，D内在他近处的那一部分总在他的左边，如定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P(x,y)和Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数， 则有[(%->xtdy-f Pax-Qdy。 L 为 D 的取正向的边界曲线。axayD即格林公式证：对既为x-型又为y-型区域apL: y=(x):9一连续，dyr9:() aP(x, )dy(L P dxdy=dxJe(t)ynOoC?=(P[x,P2(x)]-P[x,(x)dxL:y=0()又fPdx=[Pdx+[Pdx-I P[x,P;(x)x + " P[x,2(x)x['(P[xi,,(x)]-P[x,P2(x)dx
§10.3 Green 公式 教学目的：理解和掌握 Green 公式及应用 教学重点：Grenn 公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green 公式 1． 单连通区域。设 D 为单连通区域，若 D 内任一闭曲线所围的部分都属于 D 。称 D 为单连通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。规定平面 D 的边界曲线 L 的方向，当观看者沿 L 行走时， D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如 定理 1. 设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 和Q(x, y) 在 D 上具有一阶连 续偏导数，则有 dxdy y P x Q D ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ ( ) = ∫ − L Pdx Qdy 。 L 为 D 的取正向的边界曲线。 即格林公式 证：对既为 x - 型又为 y -型区域 L2 ： ( ) 2 y = ϕ x ∵ y P ∂ ∂ 连续， ∫∫ ∂ ∂ D dxdy y P = dy y P x y dx x x b ∫a ∫ ∂ ( ) ∂ ( ) 2 1 ϕ ( , ) ϕ = P x x P x x dx b a { [ , ( )] [ , ( )]} ∫ 1 ϕ 2 − 1 ϕ1 L1： ( ) 1 y = ϕ x 又 ∫ ∫ ∫ = + L L1 L2 Pdx Pdx Pdx = P x x dx b ∫a [ , ( )] 1 ϕ1 + P x x dx b ∫a [ , ( )] 1 ϕ 2 = P x x P x x dx b a { [ , ( )] [ , ( )]} ∫ 1 ϕ1 − 1 ϕ 2 o y x L1 L2 a b y x l L
O-dxdy=$PdxDOyO0对于y-型区域，同理可证Qdx原式成立dxdJDOy对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在D，D，DD上应NBM用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。几何应用，在格林公式中，取P=-y,Q=x，2dxdy=Φxdy-yd.A=.xdy-ydx2J说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立a_adxdy2）记法xdy－ydxaxdy3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。4）几何应用。例1.计算(y-x)dx+(3x+y)dyL: (x-1)2 +(y-4)2 =9apaQ.=3,解：原式=(3-1)dxdy=18元，=1axdyy例2.求椭圆x=acost,y=bsint,0≤t≤2元所围成的面积解：由公式A=d, xdy- ydxD"ab(cos't+sin’ t)dt = abn得A=0
∴ ∫∫ ∫ = ∂ ∂ − D L dxdy Pdx y P 对于 y -型区域，同理可证 ∫∫ ∂ ∂ D dxdy y Q = ∫L Qdx ∴原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在 1 2 3 4 D , D , D , D 上应 用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。 几何应用，在格林公式中，取 P = −y,Q = x ， ∫∫D 2 dxdy = ∫ − L xdy ydx ∴ 2 1 A = ∫ − L xdy ydx 说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 2）记法 ∫ − L xdy ydx = ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ D dxdy x y 3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重 积分。 4）几何应用。 例 1． 计算 ∫ − + + C ( y x)dx (3x y)dy L ：( 1) ( 4) 9 2 2 x − + y − = 解： 原式= ∫∫ − = D (3 1)dxdy 18π ， = 3 ∂ ∂ x Q ， = 1 ∂ ∂ y P 例 2．求椭圆 x a ty b t t = = ≤≤ cos , sin ,0 2π 所围成的面积. 解：由公式 1 d d 2 L A xy yx = − v∫ 得 2 2 2 0 1 (cos sin )d 2 A ab t t t π = + ∫ = abπ O x y D