x=acost例3.计算星形线围成图形面积（0≤1≤2元）y=asin'tf xdy- ydx ="(acost.3asin'tcost+asin't.3acos"tsint)dt1:_3a28二平面上曲线积分与路径无关的条件1）与路无关：是G为一开区域，P(x,J),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，若G内任意指定两点A,B及G内从A到B的任意两条曲线L,L,[Pdx+Qdy=J,Pdx+Qdy恒成立，则称,Pdx+Qdy在G内与路径无关。否则与路径有关。例1.(x + y)dx +(x-y)dyL：从(1,1)到(2,3)的折线，L,从(1,1)到(2,3)的T直线(2,3)解：J, Pax+Qdy=f(2-)dy+(1+x)dx=号SLL,:y=3+2(x-2),即y=2x-1(1.1)[, (x + y)dx+(x- y)dys-2x - 1) + 2(1 - x)dx =2定理：设P(x,y)，Q(x,J)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C，ΦPdx+Qdy=0。（2）对内任一曲线L，（Pdx+Qdy与路径无关(3）在D内存在某一函数μ(x,y)使du(x,y)=Pdx+Qdy在D内成立。apag(4)在D内处处成立。yax证明：（1）=（2）在D内任取两点A,B，及连接A,B的任意两条曲线AEB，AGB.C=AGB+BGA为D内一闭曲线
例 3．计算星形线 ⎩ ⎨ ⎧ = = y a t x a t 3 3 sin cos 围成图形面积(0 ≤ t ≤ 2π ) ∫ ∫ = − = ⋅ + ⋅ 2π 0 3 2 2 2 ( cos 3 sin cos sin 3 cos sin ) 2 1 2 1 A xdy ydx a t a t t a t a t t dt L = 8 3 2 πa 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 1） 与路无关：是G 为一开区域， P(x, y),Q(x, y)在G 内具有一阶连续偏导数， 若G 内任意指定两点 A, B 及G 内从 A 到 B 的任意两条曲线 1 2 L , L ∫ ∫ + = + L1 L2 Pdx Qdy Pdx Qdy 恒成立，则称 ∫ + L Pdx Qdy 在G 内与路径无关。 否则与路径有关。 例 1． ∫ + + − L (x y)dx (x y)dy L1：从(1,1)到(2,3) 的折线，L2 从(1,1)到(2,3) 的 直线 解： ∫ + L1 Pdx Qdy = 2 5 (2 ) (1 ) 2 1 3 1 − + + = ∫ ∫ y dy x dx 3 L2 ： y = 3 + 2(x − 2) ,即 y = 2x −1 ∫ + + − 2 ( ) ( ) L x y dx x y dy = 2 5 [( 2 1) 2(1 )] 2 1 + − + − = ∫ x x x dx 定理：设 P(x, y) ，Q(x, y) 在单连通区域 D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件 相互等价 （1）内任一闭曲线C ， ∫ + C Pdx Qdy = 0 。 （2）对内任一曲线 L ， ∫ + L Pdx Qdy 与路径无关 （3）在 D 内存在某一函数 μ(x, y) 使 dμ(x, y) = Pdx + Qdy 在 D 内成立。 （4） x Q y P ∂ ∂ − ∂ ∂ ，在 D 内处处成立。 证明：（1）⇒（2） 在 D 内任取两点 A, B ，及连接 A, B 的任意两条曲线 ∩ AEB ， ∩ AGB ∴ ∩ ∩ C = AGB+ BGA为 D 内一闭曲线 o y x (2,3) (1,1) L2 L1 o y x E B A G
由（1）知Pdx+Qdy，即J+Qdy+J+Qdy=: JAonPax+Ody=Je,Pdx+Qdy（2）=（3）若【,Pdx+Qdy在D内与路径无关。当起点固定在（xo，y。）点，终点为(x,)后，则[Pdx+Qdy是x,y的函数，记为u(x,y)。下证： u(x,y)=Pdx+Qdy的全微分为du(x,y)=Pdx+Qdy。Ou= P(x,y),：P(x,y)，Q(x,y)连续，只需证axu =Q(x,y),M(x.y)ayN(x+Ax,y)auu(x +Ax)-u(x,y)由定义=limaxArM(xo,yo)Ar→0++," dx+Qdy=u(x, y)++Ar"Pdx +Qdyu(x+Ar,y)=A"Pdx=u(x,y)+[+* Pdx=PAx, P=P(x+0△x,y) (0≤0≤1).. u(x+Ax, y)- u(x,y)-f即Ou同理%= (x, )。=P(x,y)，ardyap(3）=（4)若d(x,)=Pa+Qdy，往证器-,a0P0=axdy xayapapa0aoa'u_au由P,Q具有连续的一阶偏导数axdyay-axayaxaxoyOyax做p.00ayax（4）=（1）设C为D内任一闭曲线，D为C所围成的区域。Pdx+Qdy=Jrooap中)dxdy=0。ax
由（1）知 ∫ + C Pdx Qdy ， 即 ∫ ∩ + AGB Pdx Qdy + ∫ ∩ + BEA Pdx Qdy = 0 ∴ ∫ ∩ + AGB Pdx Qdy = ∫ ∩ + BEA Pdx Qdy （2）⇒（3）若 ∫ + L Pdx Qdy 在 D 内与路径无关。当起点固定在（ 0 0 x , y ）点，终点 为(x, y)后，则 ∫ + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy 是 x, y 的函数，记为u(x, y) 。 下证：u(x, y) = ∫ + ( , ) ( , ) 0 0 x y x y Pdx Qdy 的全微分为 du(x, y) = Pdx + Qdy 。 ∵ P(x, y) ， Q(x, y) 连续，只需证 P(x, y) x u = ∂ ∂ ， Q(x, y) y u = ∂ ∂ ， 由定义 = ∂ ∂ x u x u x x u x y x Δ + Δ − Δ → ( ) ( , ) lim 0 u(x + Δx, y) = ∫ +Δ + ( , ) ( , ) 0 0 x x y x y Pdx Qdy =u(x, y) + ∫ +Δ + ( , ) ( , ) x x y x y Pdx Qdy =u(x, y) + ∫ x+Δx x Pdx ∴u(x + Δx, y) − u(x, y) = ∫ x+Δx x Pdx = PΔx ， P = P(x +θΔx, y) (0 ≤ θ ≤ 1) 即 P(x, y) x u = ∂ ∂ ， 同理 Q(x, y) y u = ∂ ∂ 。 （3）⇒（4）若 du(x, y) = Pdx + Qdy ，往证 y P ∂ ∂ = x Q ∂ ∂ ， P = x P ∂ ∂ ，Q = y Q ∂ ∂ x y P y P ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， y x Q x Q ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 由 P,Q 具有连续的一阶偏导数 = ∂ ∂ ∂ x y u 2 y x u ∂ ∂ ∂ 2 故 y P ∂ ∂ = x Q ∂ ∂ （4）⇒（1）设C 为 D 内任一闭曲线， D 为C 所围成的区域。 ∫ + C Pdx Qdy = dxdy y P x Q D ∫∫ ∂ ∂ − ∂ ∂ ( ) = 0 。 Δx ( , ) 0 0 0 M x y o y x M(x,y) N(x+ ,y)