例8求/=J,rds，其中r为圆周/r+y+2=α,[x+y+z=0解：由于T的方程中的x,y,z的地位完全对称J, x’ds= J,y'ds=J, -'ds一2)d-3.2元3ds=3(2元a=ds，球面大圆周长）例9 设1为精圆兰+兰=1,其周长为a, 求§,(2y+3r°+4y)ds=43解：9,(2xy+3x2+4y2)ds=9,2xyds +9,(3x* +4y)ds-0++91-(*+4 us-1 4 - -21小结1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用作业
例 8 2 22 2 2 , d , 0. x yza I xs xyz Γ ⎧ ++= = Γ ⎨ ⎩ ++= 求 其中 为圆周 ∫ 解：由于Γ 的方程中的 x, y, z 的地位完全对称, 222 x ddd s ys zs ΓΓΓ = = ∫∫∫ 1 2 22 ( )d 3 I xyzs Γ = ++ ∫ 2 3 2 d 3 3 a a s π Γ = = ∫ (2 d , ) π a s Γ = ∫ 球面大圆周长 例 9 2 2 2 2 1, , (2 3 4 )d 4 3 L x y L a xy x y s += + + = 设 为椭圆 其周长为 求v∫ 解： 2 2 (2 3 4 )d L xyx ys + + v∫ 2 d L = xy s v∫ ＋ ( ) 2 2 3 4d L x + y s v∫ ＝0＋ 1 2 2 12 (3 4 )d L 12 +⋅ + x y s v∫ 2 2 12 ( )d 12 1d 12 L L 4 3 x y = += = s sa v v ∫ ∫ 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业
$10.2对坐标的曲线积分教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用教学重点：对坐标曲线积分的计算教学难点：对坐标曲线积分的计算教学内容：一、对坐标的曲线积分定义和性质1.引例：变力沿曲线所作的功。设一质点在xoy面内从点A沿光滑曲线弧L移到点B，受力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P，Q在L上连续。求上述过程所作的功解：（1）分割先将L分成n个小弧段M-M，(i=1,2,,n)（2）代替用MM,=Ax,i+Ayj近似代替M-M，Ax,=x,-xi-1Ay, = y,- yi-V(s,n,)e M,M,F(x,J)=P(x,y)i+Q(x,)j近似代替M-M,内各点的力，则F(x,J)沿M-M所做的功Aw,~F(5n).M-M(3) 求和 w~[P(5,n,)Ax, +Q(5,n,)Ay,]i=l（4）取极限令a=maxM-M,的长度i=1,2,,nW = lim Z[P(5,n,)Ax, +Q(5,n,)Ay,]A20i=12.定义：设L为xoy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列M-(x-I,yi-）i=12...,n把L分成n个有向小弧段CMi-- M,(i=1,2,..",n,M。=A,M, =B)设Ax,=x,-xi-1,Ay,=y,-yi-1点(s,n,)为Mi-M,上任意取定的点.如果当个
§10.2 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计算法和应用 教学重点：对坐标曲线积分的计算 教学难点：对坐标曲线积分的计算 教学内容： 一、对坐标的曲线积分定义和性质 1．引例：变力沿曲线所作的功。 设一质点在 xoy 面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移到点 B ，受力 F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j ，其中 P ，Q 在 L 上连续。求上述过程所作的功 解：（1）分割 先将 L 分成n 个小弧段 ∩ Mi−1Mi (i = 1,2,"",n) （ 2 ）代替 用 M M x i y j i−1 i = Δ i + Δ i 近似代替 ∩ Mi−1Mi Δ i = i − i−1 x x x ， Δ i = i − i−1 y y y ∀(ξ i ,ηi) ∈ ∩ Mi−1Mi F(x, y) = P(x, y) i + Q(x, y) j 近似代替 ∩ Mi−1Mi 内各点的力，则 F(x, y) 沿 ∩ Mi−1Mi 所 做的功Δ ≈ ( , )⋅ wi F ξ i ηi Mi−1Mi （3） 求和 ∑= ≈ Δ + Δ n i i i i i i i w P x Q y 1 [ (ξ ,η ) (ξ ,η ) ] （4）取极限 令λ = max{ ∩ Mi−1Mi 的长度 i = 1,2,", n} ∑= → = Δ + Δ n i i i i i i i w P x Q y 1 0 lim [ (ξ ,η ) (ξ ,η ) ] λ 2． 定义： 设 L 为 xoy 面内从点 A 到点 B 的一条有向光滑曲线弧，函数 P(x, y),Q(x, y)在 L 上有界.在 L 上沿 L 的方向任意插入一点列 ( , ) i−1 i−1 i−1 M x y (i = 1,2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅,n) 把 L 分 成 n 个有向小弧段 Mi Mi ∩ −1 ( 1,2, , ; , ) i = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ n M 0 = A M n = B 设 1 1 , Δ i = i − i− Δ i = i − i− x x x y y y ，点( , ) ξ i ηi 为 Mi Mi ∩ −1 上任意取定的点.如果当个
小弧段长度的最大值→0时，P(5,n,)Ax,的极限总存在，则称此极限为函数i=lP(x,y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作,P(x,y)dx.类似地，如果乙Q(5,n,)Ay,的极限值总存在，则称此极限为函数Q(x,y)在有向曲线弧L上对坐标=ly曲线积分，记作[,o(x,y)dy.即[, P(x, y)dx = limZ P(5),n,)Ax, ,0i=lJ 0(xy)dy= limZo(x, y)Ay,说明：(1）当P(x,y)Q(x,y)在L上连续时，则,P(x,y)dx，[,Q(x,y)dy存在（2）可推广到空间有向曲线「上※（3）L为有向曲线弧，L为L与方向相反的曲线，则J, P(x, y)dx=- J, P(x, y)dx,[,o(x, y)dy=-[,0(x, y)dy(4)设L=L,+L,，则[ Pdx+Qdy=J,Pdx+Qdy+J,Pdx+Qdy此性质可推广到L=L,+L,…+L,组成的曲线上。二、计算[x=p(t),定理：设P(x,J)，Q(x,J)在L上有定义，且连续,L的参数方程为ly=y(t),当t单调地从α变到β时，点M(x,y)从L的起点A沿L变到终点B，且Φ(t),p(t)在以α，β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且p()+y"()0，则且存在[, P(x, y)dx +Q(x, y)dy[, P(x, )dx +Q(x, y)dy=[(P[g(1),y(0)'({) + Q[o(1),y(0)]y(0)dt注意1）α：L起点对应参数，β：L终点对应参数α不一定小于β
小弧段长度的最大值 λ → 0 时， i i n i i ∑P Δx = ( , ) 1 ξ η 的极限总存在，则称此极限为函数 P(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 x 的曲线积分，记作 ∫L P(x, y)dx .类似地，如果 ∑= Δ n i i i i Q y 1 (ξ ,η ) 的极限值总存在，则称此极限为函数Q(x, y) 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 曲线积分，记作 ∫L Q(x, y)dy .即 ∫ ∑= → = Δ n i i i i L P x y dx P x 1 0 ( , ) lim (ξ ,η ) λ ， ∫ ∑= → = Δ n i i L Q x y dy Q x y y 1 0 ( . ) lim ( , ) λ 说明：（1）当 P(x, y) Q(x, y) 在 L 上连续时，则 ∫L P(x, y)dx ， ∫L Q(x, y)dy 存在 （2）可推广到空间有向曲线Γ 上 ※ （3） L 为有向曲线弧， − L 为 L 与方向相反的曲线，则 ∫L P(x, y)dx = ∫ − − L P(x, y)dx ， ∫L Q(x, y)dy = ∫ − − L Q(x, y)dy （4）设 L = L1 + L2 ，则 ∫ + L Pdx Qdy = ∫ + 1 L Pdx Qdy + ∫ + 2 L Pdx Qdy 此性质可推广到 L = L1 + L2 ""+ Ln 组成的曲线上。 二、计算 定理：设 P(x, y) ，Q(x, y) 在 L 上有定义，且连续, L ⎩ ⎨ ⎧ = = ( ), ( ), y t x t ψ ϕ 的参数方程为 当t 单调地从α 变到 β 时，点 M (x, y) 从 L 的起点 A 沿 L 变到终点 B ，且φ(t),ϕ(t) 在以 α ， β 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ( ) ( ) 0 2 2 ϕ′ t +ψ′ t ≠ ， 则 ∫ + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 存在，且 ∫ + L P(x, y)dx Q(x, y)dy = {P[ϕ(t),ψ (t)]ϕ (t) Q[ϕ(t),ψ (t)]ψ (t)}dt β α ′ + ′ ∫ 注意 1）α ： L 起点对应参数， β ： L 终点对应参数 α 不一定小于 β
2）若L由y=(x)给出L起点为α，终点为β[, Pdx + Qdy = ["(P[x, y(x)]+ Q[x, (x)] y(x))dx3）此公式可推广到空间曲线『：x=()，=p()，z=(t)[, Pdx + Qdy + Rdz = J(P[p(1),y(0),a(1)]0(t) + Q[p(),(t),o(0)ly'(0)+ R[p(t),y(t), o(t)]o'(t))dtα：「起点对应参数，β：「终点对应参数例1.计算：(2a-y)dx-(a-y)dyL：摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)从点O(0,0)到点B(2元a,0)。解:原式=f,"[2a-a(1-cost)a(1-cost)-[a-a(1-cost)asini]dtf [-a(1 + cost)a(1 - cost) - a’ cos t sin t]dt([2la(-cos)-α cosisinda)22元1I sin2t- sin 0a=元2422mJ,(2a-y)dx -(α - y)dy =-ma2例2.[,xy~dx+(x+y)dyL：1)曲线y=x22)折线L,+L，起点为(0,0)，终点为(1,1)解1) 原式-I[x-x*+(x+x)=小y2）原式=, +,=ydy+Jxdx=1故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关例3．计算[,xydx,其中L为抛物线y2=x上，从A4(1,-1)到B(1,1)的一段弧yt解：（1）化为对x的定积分y=±VxB(L,1)J, xydx=Joydx+Jo dx- J°x(-V)dx+ J x/xdxOA(1,-1)
2）若 L 由 y = y(x) 给出 L起点为α，终点为β Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)] y (x)}dx. ∫L ∫ + = + ′ β α 3 ）此公式可推广到空间曲线 Γ ： x = φ(t) ， y = ϕ(t) ， z =ϖ (t) R t t t t dt Pdx Qdy Rdz P t t t t Q t t t t [ ( ), ( ), ( )] ( )} { [ ( ), ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ϕ ψ ω ω ϕ ψ ω ϕ ϕ ψ ω ψ β α + ′ + + = ′ + ′ ∫Γ ∫ α ：Γ 起点对应参数， β ：Γ 终点对应参数 例1． 计算：∫ − − − L (2a y)dx (a y)dy L ：摆线 x = a(t − sin t) ， y = a(1− cost)从点 O(0,0)到点 B(2πa,0) 。 解：原式= [2a a(1 cost)]a(1 cost) [a a(1 cost)a sin t]dt 2 0 − − − − − − ∫ π = [ a(1 cost)a(1 cost) a costsin t]dt 2 2 0 − + − − ∫ π = (1 cos ) cos sin ] ) 2 1 cos 2 ( [ 2 2 0 2 a t a t t dt t a a − − − − ∫ π = 2 2 0 2 2 sin ) 2 1 sin 2 4 1 2 1 a ( t t t πa π − − = 2 (2a y)dx (a y)dy a L − − − = −π ∫ − 例 2．∫ + + L xy dx (x y)dy 2 L ：1）曲线 2 y = x 2）折线 L1 + L2 起点为(0,0) ，终点为(1,1). 解 1）原式= x x x x dx ∫ ⋅ + + 1 0 4 2 [ ( )] = 3 4 2） 原式= ∫ ∫ + L1 L2 = ∫ ∫ + 1 0 1 0 ydy xdx =1 故一般来说，曲线积分当起点、终点固定时，与路径有关 例 3． 2 d , (1, 1) (1,1) . L xy x L y x A B = − 计算 其中 为抛物线 上，从 到 的一段弧 ∫ 解：（1）化为对 的定积分 x y x = ± ∫∫ ∫ L AO OB xy x xy x xy x d dd = q ＋ q 0 1 1 0 =− + x( )d d x x x xx ∫ ∫ o L1 y x L2 •A(1, 1) − •B(1,1) 2 y x = O x y
（2）化为对y的定积分x=y，dx=2ydy，y从-1到14-4J xyd x= J' y y.2ydy=2f例4.计算[,xdx+ydy+(x+y-1)dz,其中r是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段解：直线AB的方程为--1_=-1123化成参数式方程为x=1+ty=1+2t,z=1+3tA点对应t=0.B点对应t=1.于是[, xdx+ ydy+(x+ y-1)dz(1+t)dt+(1+2t)2dt+(1+3t)3dt= f (6 +141)dt =13例5.计算[.x2dx+(y-x)dy,其中(1)L是上半圆周=Va2-x，反时针方向；(2)L是x轴上由点A(a,O)到点B(-a,O)的线段解：（1)中L的参数方程为x=acost,y=asintA点对应1=0,B点对应t=元原式=a cos td(acost)+(asint-acost)d(asint)2g-元a3 20A(a,0)xB(-a, 0)(2)L的方程为y=0,x从a到-a"r'dx =-2a原式=0例6.位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中，一单位正电荷沿光滑曲线「x=x(t),y=y(t),z=z(t),α≤t≤β，从点A移到点B,设A对应t=α,B对应t=β
3 1 2 0 4 2 d 5 = = x x ∫ （2） 化为对 的定积分 y 2 x = y , d 2d, x = y y y从 到−1 1 1 2 1 d 2d L xy x y y yy − = ⋅⋅ ∫ ∫ = 1 4 1 4 2 5 y − = ∫ 例 4． xd d ( 1)d x yy x y z Γ + + +− 计算∫ ,其中Γ是由点 A(1,1,1)到点 B(2,3,4)的直线段. 解：直线 AB 的方程为 111 123 x −−− y z = = 化成参数式方程为 x =+ =+ =+ 1 , 1 2, 1 3 ty tz t A 点对应t = 0, B 点对应t =1, 于是 xd d ( 1)d x yy x y z Γ + + +− ∫ ＝ 1 0 (1 ) (1 2 )2 (1 3 )3 + ++ ++ t dt t dt t dt ∫ 1 0 =+ = (6 14 )d 13 t t ∫ 例 5． 2 d ( )d , L x x yxy + − 计算∫ 其中 (1) L 是上半圆周 2 2 y = − a x , 反时针方向; (2) L 是 x 轴上由点 A( ,0) a 到点 B( ,0) −a 的线段. 解：(1)中 L 的参数方程为 x = = a ty a t cos , sin A 点对应 t = 0, B 点对应t = π. 原式= 2 2 0 a td a t a t a t d a t cos ( cos ) ( sin cos ) ( sin ) π + − ∫ 2 3 2 3 2 a a π =− − (2) L 的方程为 y xa a = − 0, . 从 到 原式= 2 d a a x x − ∫ 2 3 3 = − a 例 6．位于原点(0,0,0)处的电荷 q 产生的静电场中, 一单位正电荷沿光滑曲线Γ: x xt y yt z zt t = = = ≤≤ ( ), ( ), ( ), α β ，从点 A 移到点 B, 设 A 对应t =α,B 对应t = β, B a ( ,0) − A( ,0) a O x y