注意：[u(x)v(x)'≠W'(x)+v'(x) v'(x) 分段函数求导时，分界点的导数用左右导数求 极秋私 #
注意: [u(x) v(x)] u(x) + v(x); ( ) ( ) . ( ) ( ) u x u x v x v x 分段函数求导时,分界点的导数用左右导数求. #
2.2.3反函数的求导法则 y=a←→x=l0g,y,y=arcsinx←→x=Slny. 定理2-5如果函数x=p(y)在某区间I内单调、可导 且p'(y)≠0，那末它的反函数y=f(x)在对应区间 1,内也可导，且有 f'(x)= o'(y) 或 凝 证明略。 即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数
定理2-5 ( ) ( ) 0 , ( ) , 1 1 ( ) . ( ) y x x y x y I y y f x I f x y y x = = = = 如果函数 在某区间 内单调、可导 且 那末它的反函数 在对应区间 内也可导 且有 或 即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 2.2.3 反函数的求导法则 y a x log y , y arcsin x x sin y. a x = = = = 证明略
例6求函数y=arcsinx的导数. 解x=sn1,（号 内单调、可导 且siny)'=cosy>0,.在L.∈(-1,1)内有 1 1 (arcsinx)= (sin y)' cos y 1-sin2y 1-x2 1 1 (arcsinx)= arccosx)=- V1-x2 1-x2 1 arctanx)= +2 （arccot x)y'=- 1+x2
例 6 求函数 y = arcsin x的导数. 解 sin , , 2 2 y x y I = − 在 内 单 调、可 导 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = (arcsin x ) 2 1 (arccot ) 1 x x = − + 2 1 (arcsin ) 1 x x = −
例7 求函数y=a'的导数(M>0,a≠1) 解：已知y=ar是=logy的反函数，x=logy在 区间（0，o)上单调、可导，且： (o ≠0. 由定理2-5可得 涵 (ogayy=ylna-aIna. (a -alna (e)'=e
例7 y a y a a x ln (log ) 1 ( ) = = a lna. x = 解：已知 y=α x 是 x= logαy 的反函数，x = logαy 在 区间（0，∞）上单调、可导，且： ( ) . x x e = e 0. ln 1 (log ) = y a y a 由定理2-5可得 ( ) ln x x a a a =