5.4冥级数 5.4.1函数项级数的一般概念 5.4.2冥级数及其收敛性 涵 5.4.3冥级数的运算 -秋私 ∫fx)dx
5.4 冥级数 5.4.1 函数项级数的一般概念 5.4.2 冥级数及其收敛性 5.4.3 冥级数的运算 f x d x ( )
5.4.1函数项级数的一般概念 定义5-6设{4，(x)}是定义在数集上的函数列 则表达式 4(x)+42(x)+…+un(x)+…=∑4n(x) n=l 称为定义在上的函数项无穷级数。而 潮 S,()=u(x)+u2(x)+.+u,(x) 称为函数项级数(5-4)的部分和
5.4.1 函数项级数的一般概念 定义5-6 是定义在数集上的函数列， 则表达式 称为定义在上的函数项无穷级数。而 设 { ( )} n u x 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x = + + + + = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n s x u x u x u x = + + + 称为函数项级数(5-4)的部分和
对x,∈I,如果常数项级数∑4(x)收敛 n=] 即m,(x)存在，则称函数项级数∑u,(x)在点七收敛 n=l x,称为该函数项级数的收敛点。 如果1im5,(xo)不存 在，则称函数项级数∑，(x)在点X,发散。 函数项 n=1 级数全体收敛点的集合称为该函数项级数的收敛域 而全体发散点的集合称为发散域： 醒
0 1 ( ) n n u x = 收敛， 即 收敛， 0 x 不存 在，则称函数项级数 对 0 x I ，如果常数项级数 0 lim ( ) n n s x → 存在，则称函数项级数 1 ( ) n n u x = 在点 0 x 称为该函数项级数的收敛点。如果 0 lim ( ) n n s x → 1 ( ) n n u x = 在点 0 x 发散。函数项 级数全体收敛点的集合称为该函数项级数的收敛域， 而全体发散点的集合称为发散域
设函数项级数∑4，(x,)的收敛域为D,则对D n=l 内的每一点x,ms,()存在，记ims,()=s(),它是 n->co x的函数，称为函数项级数∑4(x)的和函数。称 n=l ,(x)=S(x)-Sn(x)=4n+1(x)+un+2(x)+… 为函数项级数∑4，(x)的余项。对于收敛域上的每一 n= 点x,有1imrn(x)=0 n>o∞
设函数项级数 1 ( ) n n u x = 内的每一点 ，它是 x 的函数，称为函数项级数 的和函数。称 为函数项级数 的余项。对于收敛域上的每一 点 x ，有 的收敛域为 D ，则对 D x ， lim ( ) n n s x → 存在，记 lim ( ) ( ) n n s x s x → = 1 ( ) n n u x = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n r x s x s x u x u x = − = + + + + 1 ( ) n n u x = lim ( ) 0 n n r x → =
由定义5-6可知，函数项级数在某点X的敛 散问题，实质上是常数项级数的敛散问题，因 此，常数项级数的敛散性判别法对函数项级数也 适用。 例5-18几何级数 ∑x”=1+x+x2+…+x”+… n=0 是一个函数项级数，由例5-4的讨论知， 凝
由定义5-6可知，函数项级数在某点 的敛 散问题，实质上是常数项级数的敛散问题，因 此，常数项级数的敛散性判别法对函数项级数也 适用。 例5-18 几何级数 x 2 0 1 n n n x x x x = = + + + + + 是一个函数项级数，由例5-4的讨论知