3.3定积分的应用 3.3.1微元法 3.3.2定积分在几何上的应用 3.3.3连续函数的平均值 3.3.4定积分在物理上的应用 涵 3.3.5定积分在医学上的应用
3.3.3 连续函数的平均值 3.3.1 微元法 3.3 定积分的应用 3.3.2 定积分在几何上的应用 3.3.4 定积分在物理上的应用 3.3.5 定积分在医学上的应用
3.3.1微元法 问题的提出 曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线 y=f(x)(f(x)≥0)、x y=f(x) 轴与两条直线x=a、 调 x=b所围成。 冠A=f b x
曲边梯形求面积的问题 = b a A f (x)dx 曲边梯形由连续曲线 y = f (x)( f (x) 0)、x 轴与两条直线 x = a、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x) 问题的提出 3.3.1 微元法
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间[a,b]分成n个长度为△x,的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为△A,则A=∑△4， i=1 (2)计算△A的近似值 △A:≈f(5)△x:5:∈△x, (3)求和，得A的近似值A≈∑f(传)△x· i=1
面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n个长度为 i x 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形的面积为 Ai，则 （2）计算Ai的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3）求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x = = = n i A Ai 1
(4)求极限，得A的精确值 A=Iim∑f传)△x,=f(x)dc 元→0 i=1 面积元素 提示 若用△A表示任一小区间 [比，x+△上的窄曲边梯形的面积，' f(x) 则A=∑△A,并取△A≈f(x), 于是A≈∑f(x) A-limf()df()dx. o a xx+dx b x
a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f (x)dx， 于是 A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素
观察上述四步我们发现，第2步最关键，因为最后的 被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似 式f(5)△x,中的变量记号改变一下即可(5换为x;△x,换为dc), 而后两步可以合并成一步：在区间4，b上无限累加， 即在[4，b上积分.至于第1步，它只是指明所求量具有可 加性，这是F能用定积分计算的前提，于是，上述四步 简化后形成实用的微元法
2 ( ) ( ; ). i i i i f x x x dx 观察上述四步我们发现，第 步最关键，因为最后的 被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似 式 中的变量记号改变一下即可 换为 换为 [ , ] [ , ] a b a b F 而后两步可以合并成一步:在区间 上无限累加， 即在 上积分.至于第1步，它只是指明所求量具有可 加性，这是 能用定积分计算的前提，于是，上述四步 简化后形成实用的微元法