4.4偏导数与全微分 4.4.1偏导数及其几何意义 4.4.2高阶偏导数 4.4.3全微分
4.4 偏导数与全微分 4.4.1 偏导数及其几何意义 4.4.2 高阶偏导数 4.4.3 全微分
4.4.1偏导数及其几何意义 增量的 问题的提出 比值 元函数 lim f(x+△x)-f(x) 导数定义 2=1im △x-→0 △x △x→0 △x 0 函数对于自变量的变化率 多元函数 函数对自变量的变化率
问题的提出 函数对自变量的变化率 4.4.1 偏导数及其几何意义 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x → → x x + − = 一元函数 导数定义 函数对于自变量的变化率 多元函数 增量的 比值
1.偏增量与全增量 偏增量 △x2=f(x+△x,)-f(x,y) △z=f(x,+Ay)-f(x0,) 分别为z=f(x,)在Poxo,o)处对x的偏增量 湿 和对y的偏增量 涵
1.偏增量与全增量 0 0 0 0 ( ) ( , ) x = + − z f x x y f x y , 0 0 0 0 ( ) ( , ) y = + − z f x y y f x y , 分别为 z = f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )处对 x 的偏增量 和对 y 的偏增量. 偏增量
全增量 设二元函数fky)在PcJo)的某邻域U(Po)内有 定义,在Pxo)处分别给xJ一个改变量△x和△y, 得f(x,y)相应的改变量为 褐 △2=f(x+△x,+△y)-f(x,) 称之为f(,y)在P心,Jyo)的全增量
全增量 0 0 0 0 = + + − z f x x y y f x y ( ) ( , ) , 称之为 z=f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )的全增量. 设二元函数f (x,y)在P0 (x0 , y0 )的某邻域U(P0 )内有 定义,在P0 (x0 , y0 )处分别给x0 , y0一个改变量x和y, 得 f (x, y)相应的改变量为
2.偏导数的定义 定义4-4设二元函数f化,y)在P(Ky0)的某邻域 U(P)内有定义,若极限 lim △x2=lim f(x+△x,y)-f(xy) △x→0 △r→0 △x 存在, 则称此极限为函数z=f化,y)在点(化,y)处对 的偏导数,记为 af ,2(x,o)或f(x0,) (x0,y%) Ox (xo-Yo) 一 x-x0 x=x0 Ox x=x0 x=X0 2x'(x0,乃0) y=Yo y=Yo y=Yo y=yo
定义4-4 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim lim x x x z f x x y f x y → → x x + − = 存在, 则称此极限为函数 z = f (x, y)在点(x0 , y0 )处对x 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) , , ( , ) ( , ) x x x y x y z f z x y f x y x x 或 设二元函数f (x, y) 在P0 (x0 , y0 )的某邻域 U( P0 )内有定义,若极限 的偏导数,记为 2. 偏导数的定义 0 0 y y x x x z = = 0 0 y y x x x f = = 0 0 y y x x x z = = 0 0 ( , ) x z x y 0 0 x x x y y z = =