第一部分微积分的理论基础一一 极限与连续 一.极限的概念与理论 问题1极限概念的精确化历程 (1)朴素极限思想的萌芽 例1公元前五世纪古希腊雅典时期的形而上学学者芝诺(zno,约公元前 490-前430)提出的悖论：“神行太保”阿基里斯(Achilles)永远追不上乌龟。 例2公元前三世纪，据《庄子》中的天下篇记载，梁国的宰相惠施（名家， 庄子的好友)说： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 例3公元前五世纪，古希腊雅典时期诡辩学派的代表人物安提丰 （Antiphon,约公元前480-前411)，为解决“化圆为方”（作一个与给定的圆面 积相等的正方形)问题提出的“穷竭法”，后被古希腊数学家阿基米德 (Archimedes,公元前287-前212)用于求抛物线图形的面积。 例4三国时期魏国数学刘徽（公元225-295）用“割圆术”求圆周率 元57 3.14 50 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。” 中世纪（公元5-11世纪）的欧洲由于天主教的统治处于黑暗、衰落时期， 科学技术处于凝滞状态。 (2)极限概念是在微积分的创立和发展过程中逐步建立起来的 1)微积分的创立和发展 17世纪上半叶，自然科学迈入综合发展和突破的新阶段，需要数学新工具。 17世纪下半叶，牛顿(Newton,.1642-1727)与莱布尼兹(Leibniz,1646-1716) 在前人工作的基础，几乎同时分别独立创立了微积分，被恩格斯誉为“人类精神 的最高胜利”，引发了一场科学革命。 2)微积分缺乏稳固的基础，导致第二次数学危机 英国哲学家，红衣大主教伯克莱(G.Berkeley,1685-1753)在1734年发表 的小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分提出了尖锐的批评， 认为其中包含了“偷换假设”的逻辑错误，伯克莱集中攻击牛顿流数论中关于无 穷小量的混乱假设，从而引发了数学史上的第二次数学危机。 例用“流数术”求自由落体运动5=8t时刻的瞬时速度
1 第一部分 微积分的理论基础——极限与连续 一．极限的概念与理论 问题 1 极限概念的精确化历程 （1）朴素极限思想的萌芽 例 1 公元前五世纪古希腊雅典时期的形而上学学者芝诺(zeno，约公元前 490-前 430)提出的悖论：“神行太保”阿基里斯（Achilles）永远追不上乌龟。 例 2 公元前三世纪，据《庄子》中的天下篇记载，梁国的宰相惠施（名家， 庄子的好友）说： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 例 3 公元前五世纪，古希腊雅典时期诡辩学派的代表人物安提丰 （Antiphon，约公元前 480-前 411），为解决“化圆为方”（作一个与给定的圆面 积相等的正方形 ）问题提出 的“穷竭法 ”，后被古 希腊数学家 阿基米德 （Archimedes，公元前 287-前 212）用于求抛物线图形的面积。 例 4 三国时期魏国数学刘徽（公元 225-295）用“割圆术”求圆周率 3.14. 50 157 “割之弥细，所失弥小，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣。” 中世纪（公元 5-11 世纪）的欧洲由于天主教的统治处于黑暗、衰落时期， 科学技术处于凝滞状态。 （2）极限概念是在微积分的创立和发展过程中逐步建立起来的 1 。）微积分的创立和发展 17 世纪上半叶，自然科学迈入综合发展和突破的新阶段，需要数学新工具。 17 世纪下半叶，牛顿（Newton, 1642-1727）与莱布尼兹（Leibniz，1646-1716） 在前人工作的基础，几乎同时分别独立创立了微积分，被恩格斯誉为“人类精神 的最高胜利”，引发了一场科学革命。 2 。）微积分缺乏稳固的基础，导致第二次数学危机 英国哲学家，红衣大主教伯克莱（G. Berkeley，1685-1753）在 1734 年发表 的小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，对微积分提出了尖锐的批评， 认为其中包含了“偷换假设”的逻辑错误，伯克莱集中攻击牛顿流数论中关于无 穷小量的混乱假设，从而引发了数学史上的第二次数学危机。 例 用“流数术”求自由落体运动 2 2 1 s = gt t 时刻的瞬时速度
解给1增加一个无穷小增量“瞬”记为0，（莱布尼兹称为无穷小量，记为 山，s就从号r变为分8+oP,从面得到s的增量为 28u+o2- 28=810+580, 它们的“最初比”为 28u+oP-8 =81+280 将上式右端含o的项舍去，便得“最终比”5=g,就是所求的t时刻瞬时速度， 牛顿称5为s的一次流数。 伯克莱责问道：“上述算法中的增量o究竞是非零还是真零？若为非零，则 8g+80中的o就不能舍去：若为真零，则8+o-8r=0,因此，比值 1 +oF-sp 1 就变成无意义的。.”.“总之，不论怎样看，牛顿的流数术是不 0· 合逻辑的，它们只不过是‘消逝量的鬼魂’。”(“伯克莱悖论”) 虽然伯克莱的批评是出于宗教的动机，是企图说明流数原理并不比基督教义 “构思更清楚”、“推理更明白”，但是他的批评是击中要害的，问题的核心是什 么是无穷小量.实际上，牛顿在去世前已经认识到了这一点。他曾对微分学换了 几种讲述，在1687年出版的名著《自然哲学的数学原理》一书中，他对什么是 “最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无 限减小的量之比所趋向的极限。它们无限接近这个极限，其差可以小于任意给定 的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它。”但牛 顿并没有严格说清楚极限的含义，而且还保留了无限小瞬的观点。 3)无穷级数中所出现的“悖论” 早在微积分创立之前，人们就广泛地使用着无穷级数，微积分的发展与无穷 级数的研究是密不可分的。然而在极限概念没有精确化之前，牛顿在流数论中自 由地运用无穷级数，著名数学家欧拉(Eulr,1707-1783)等在无穷级数推理中也 得到了一些“悖论”。 例1将二项式定理形式地应用于(1-x),得 1 =(1-x)1=1+x+x2+x3+…, 1-x 在上式两端令x=2,有 -1=1+2+4+8+…, 这是欧拉得到的一个荒谬的结论。再将前式两端乘以x,得 X =x+x2+x3+x4+…, 1-x
2 解 给 t 增加一个无穷小增量“瞬”记为 o ，（莱布尼兹称为无穷小量，记为 dt ）， s 就从 2 2 1 gt 变为 2 ( ) 2 1 g t + o ，从而得到 s 的增量为 2 2 2 2 1 2 1 ( ) 2 1 g t + o − gt = gt o + g o ， 它们的“最初比”为 . 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 2 gt g o o g t o gt = + + − 将上式右端含 o 的项舍去，便得“最终比” s = gt ，就是所求的 t 时刻瞬时速度， 牛顿称 s 为 s 的一次流数。 伯克莱责问道：“上述算法中的增量 o 究竟是非零还是真零？若为非零，则 gt + g o 2 1 中的 o 就不能舍去；若为真零，则 0 2 1 ( ) 2 1 2 2 g t + o − gt = ，因此，比值 1 1 2 2 ( ) 2 2 g t + o - gt o 就变成无意义的 0 0 .”.“总之，不论怎样看，牛顿的流数术是不 合逻辑的， 它们只不过是‘消逝量的鬼魂’。”（“伯克莱悖论”） 虽然伯克莱的批评是出于宗教的动机，是企图说明流数原理并不比基督教义 “构思更清楚”、“推理更明白”，但是他的批评是击中要害的，问题的核心是什 么是无穷小量. 实际上，牛顿在去世前已经认识到了这一点。他曾对微分学换了 几种讲述，在 1687 年出版的名著《自然哲学的数学原理》一书中，他对什么是 “最终比”作了进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无 限减小的量之比所趋向的极限。它们无限接近这个极限，其差可以小于任意给定 的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它。” 但牛 顿并没有严格说清楚极限的含义，而且还保留了无限小瞬的观点。 3 。）无穷级数中所出现的“悖论” 早在微积分创立之前，人们就广泛地使用着无穷级数，微积分的发展与无穷 级数的研究是密不可分的。然而在极限概念没有精确化之前，牛顿在流数论中自 由地运用无穷级数，著名数学家欧拉（Euler, 1707-1783）等在无穷级数推理中也 得到了一些“悖论”。 例 1 将二项式定理形式地应用于 1 (1 ) − − x ，得 (1 ) 1 , 1 1 = − 1 = + + 2 + 3 + − − x x x x x 在上式两端令 x = 2 ，有 −1=1+ 2+ 4+8+， 这是欧拉得到的一个荒谬的结论。再将前式两端乘以 x ，得 , 1 = + 2 + 3 + 4 + − x x x x x x
又因为 x=1=1+1+↓+1 1-x1-1 两式相加，欧拉又得到另一个十分荒谬的结果： 111 +F+++l+x+n+r+=0, 1℃ 例21696年，雅各布·伯努利(Jacob,Bernoulli.1654-1705)在其论文中 作如下推理： 1=L1+”=1-1n+m m+n m m'm m2 m 令m=n=l,得 2=1-1+1-1+ 1 另一方面， 1-1+1-1+…=(1-1)+(1-1)+…=0: 1-1+1-1+…=1-(1-1)-(1-1)-…=1. 这就是说，同一个级数的和既可以等于0、1，又可以等于) 伯努利称这些相互 矛盾的结果为“有趣的悖论。” 1703年，意大利数学家格兰弟(Grandi,1671-1742)通过在级数 1=1-x+x2-x3+… 1+ 中令x=1,又重新发现了这一悖论： 21-1+1-1+=0-)+1-)+=0, 格兰弟称之为“无中生有。” 这样的悖论日益增多，并由此得到了许多错误的结论，促使数学家们思考这 样一些问题：怎样认识无限求和的问题？能否将有限求和的概念、法则毫无条件 地搬到无限求和问题中吗？当时，虽然已经出现了收敛和发散的术语，但并无严 格的定义。 (3)极限概念和理论是随着分析的严格化而严格化的 微积分的基础不稳固（特别是在使用无穷小概念上的随意和混乱）和无穷级 数中出现的许多悖论，使18世纪下半以后的许多数学家们认识到必须为分析建 立严格的基础。 法国数学家达朗贝尔(d'Alembert,.1717-1783)在1754年为《科学，艺术和 工艺百科全书》撰写的“微分”条目中发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念
3 又因为 , 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + 2 + 3 + − = − − x x x x x x 两式相加，欧拉又得到另一个十分荒谬的结果： 1 0. 1 1 1 2 3 3 2 + + + + + x + x + x + = x x x 例 2 1696 年，雅各布·伯努利（Jacob, Bernoulli, 1654-1705）在其论文中 作如下推理： − + = + = − + − 3 2 2 1 (1 ) m l n m l n m l m n m l m n l . 令 m = n = l ，得 1 1 1 1 . 2 1 = − + − + 另一方面， 1−1+1−1+ = (1−1) + (1−1) + = 0 ； 1−1+1−1+=1− (1−1) − (1−1) −=1. 这就是说，同一个级数的和既可以等于 0、1，又可以等于 2 1 . 伯努利称这些相互 矛盾的结果为“有趣的悖论。” 1703 年，意大利数学家格兰弟（Grandi, 1671-1742）通过在级数 = − + − + + 2 3 1 1 1 x x x x 中令 x =1 ，又重新发现了这一悖论： 1 1 1 1 (1 1) (1 1) 0, 2 1 = − + − + = − + − + = 格兰弟称之为“无中生有。” 这样的悖论日益增多，并由此得到了许多错误的结论，促使数学家们思考这 样一些问题：怎样认识无限求和的问题？能否将有限求和的概念、法则毫无条件 地搬到无限求和问题中吗？当时，虽然已经出现了收敛和发散的术语，但并无严 格的定义。 （3）极限概念和理论是随着分析的严格化而严格化的 微积分的基础不稳固（特别是在使用无穷小概念上的随意和混乱）和无穷级 数中出现的许多悖论，使 18 世纪下半以后的许多数学家们认识到必须为分析建 立严格的基础。 法国数学家达朗贝尔（d’Alembert, 1717-1783）在 1754 年为《科学，艺术和 工艺百科全书》撰写的“微分”条目中发展了牛顿的首末比方法，但用极限概念
代替了含糊的“最初比”与“最终比”.他定义量Y的极限为X,如果“量Y可 以任意逼近X,这就是说，Y与X之间的差可任意小。” 1755年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论.他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816年，捷克哲学家和数学家波尔查诺(Bolzano.1781-1848)在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x处，只要o(的绝对值)充分小，就能使差f(x+⊙)-f(x)(的绝对值)任意 小，那么就说f(x)在该区间上连续。 ●法国数学家柯西(Cauchy,1789-1851)是分析学的奠基人， 他在1821-1823年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等)给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。例如： 极限当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性若无穷级数 40+41+42+…+4n+… 的前n项之和sn=山，+山+山，+…+wn,当n趋向无穷大时无限趋近于某一常数s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 (导数、积分、级数等)都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ●极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897) 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套ε-N与 ε-δ语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题2怎样正确地理解极限的ε-N与ε-6定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯
4 代替了含糊的“最初比”与“最终比”. 他定义量 Y 的极限为 X ，如果“量 Y 可 以任意逼近 X ，这就是说， Y 与 X 之间的差可任意小。” 1755 年欧拉在他的微分学中提出了无限小的不同阶零的理论. 他认为，无限 小就是零，但存在着“不同阶的零”，也就是不同阶的无限小，而“无限小演算 只不过是不同无限小量的几何比的研究。” 1816 年，捷克哲学家和数学家波尔查诺（Bolzano. 1781-1848）在二项展 开公式证明中，明确提出了级数收敛的概念。1817 年，在《纯粹分析的证明》 一书中他又对连续函数、导数等概念给出了恰当的定义。他说：若在区间内任一 x 处，只要 （的绝对值）充分小，就能使差 f (x +) − f (x) （的绝对值）任意 小，那么就说 f (x) 在该区间上连续。 ⚫ 法国数学家柯西（Cauchy, 1789-1851）是分析学的奠基人. 他在 1821-1823 年期间出版的《分析教程》和《无限小计算教程概论》中， 对微积分的基本概念（变量、函数、极限、连续性、导数、微分、定积分和无穷 级数的收敛性等）给出了明确定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事 实和定理。 例如： 极限 当一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定 值之差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限。 无限小量 当同一个变量逐次所取的绝对值无限减小，以至比任意给定的数 还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量。 级数的收敛性 若无穷级数 u0 + u1 + u2 ++ un + 的前 n 项之和 n = u0 + u1 + u2 + + un−1 s 当 n 趋向无穷大时无限趋近于某一常数 s 时，就说该级数是收敛的。 柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他将微积分的重要概念 （导数、积分、级数等）都定义为某种极限过程，为微积分奠定了基础。 ⚫ 极限概念和理论的严格化应归功于被誉为“现代分析之父”的德国数学 家魏尔斯特拉斯（Weierstrass, 1815-1897） 魏尔斯特拉斯关于分析的严格化贡献突出地表现在他创造了一套 −N 与 − 语言来建立极限的概念，并用以重建分析体系。他批评柯西等人采用“无 限趋近”，“要多小就多小”等直观描述性的语言，使分析从完全依赖运动几何概 念和直觉理解中解放出来，并建立了实数理论，使分析建立在实数的基础上，从 而消除了数学发展史上第一、二次数学危机。 问题 2 怎样正确地理解极限的 − N 与 − 定义 柯西给出的极限定义看起来似乎已经很清楚了，为什么还要用魏尔斯特拉斯
的ε-N与ε-δ语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 (1)柯西极限定义的科学内涵与缺陷 )柯西极限定义的科学内涵一一极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， lman=A=当n无限增大时，数列an无限趋近一个定值A,最终使an的值 与A之差要多小就多小。 limf(x)=A=当x无限趋近于x,时，函数f(x)无限趋近一个定值A,最 终使f(x)的值与A之差要多小就多小。 2)柯西极限定义的缺陷一一该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程」 例1判定数列a。=(1+)”有无极限， 极限是多少？ 2 3 4 5 6 10 20 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 n 由表中数字易见，a,似乎随n单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2判断数列a.=京+1000 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 由表易见，an随n的增大越来越接近于0，似乎极限应为0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当n无限增大时，→0，cos→1，故a,的极限应是 n 1 10000 例3某公司招聘新职员，甲岗底薪是1000元/月，每一个月加薪200元： 乙岗底薪600元/月，每半月加薪60元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位)： J
5 的 − N 与 − 语言来刻画极限呢？这是很多初学者容易提出的问题。 （1）柯西极限定义的科学内涵与缺陷 1 。）柯西极限定义的科学内涵——极限概念在本质上是刻画在一个无限变化 过程中变量的最终变化趋势的。按照该定义， d n n a = A= → lim 当 n 无限增大时，数列 n a 无限趋近一个定值 A ，最终使 n a 的值 与 A 之差要多小就多小。 d x x x f x = A= → → lim ( ) ( , ) 0 当 x 无限趋近于 0 x 时，函数 f (x) 无限趋近一个定值 A ，最 终使 f (x) 的值与 A 之差要多小就多小。 2 。）柯西极限定义的缺陷——该定义是“描述性的”、“直观的”，没有对其 中的“两个无限”作进一步量的刻画，因此用该定义难以判定比较复杂极限的存 在性，难以计算极限的值，更难以进行逻辑推理。 基于直观的判断实际上是一种“有限归纳”，很难用以判断无限变化的过程. 例 1 判定数列 n n n a ) 1 = (1+ 有无极限，极限是多少？ n 1 2 3 4 5 6 10 20 … n n ) 1 (1+ 2 2.25 2.37038 2.44141 2.48832 2.52159 2.59374 2.65329 … 由表中数字易见， n a 似乎随 n 单调增大，但难以断定它是否有极限？极限值 是什么？ 例 2 判断数列 10000 5 cos 1 3 n n an = + 的极限值是什么？ n 1 2 10 20 100 … n a 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 … 由表易见， n a 随 n 的增大越来越接近于 0，似乎极限应为 0。然而，用我们 已知的极限知识可知，当 n 无限增大时， 1 5 0, cos 1 3 → → n n ，故 n a 的极限应是 10000 1 。 例 3 某公司招聘新职员，甲岗底薪是 1000 元/月，每一个月加薪 200 元； 乙岗底薪 600 元/月，每半月加薪 60 元。两种岗位都是每半个月发一次薪水，问 你选哪一种岗位？ 仅凭直觉，很多人可能选甲岗，甲岗真比乙岗收入高吗？请看下表（以半月 为单位）：