5.2正项级数及其敛散性判别法 在前面讨论的级数中，级数的各项可以是正数、 负数或零，称为任意项级数。本节将讨论其特 殊情况，即级数中的各项均为非负数，称为正 项级数。有了正项级数可以帮助解决一些利用 级数定义很难判别级数收敛性的问题。实际中 很多任意项级数的收敛性判别问题可以转化为 超 正项级数的收敛问题
在前面讨论的级数中，级数的各项可以是正数、 负数或零，称为任意项级数。本节将讨论其特 殊情况，即级数中的各项均为非负数，称为正 项级数。有了正项级数可以帮助解决一些利用 级数定义很难判别级数收敛性的问题。实际中， 很多任意项级数的收敛性判别问题可以转化为 正项级数的收敛问题。 5.2 正项级数及其敛散性判别法
矿定义5-3 如果级数 ∑ Ln的各项un≥0， 则称级数 n=l ∑4n为正项级数(positive series)。易知 n=l 正项级数 ∑ un的部分和数列{Sn}是单调增加数列， n=l 即 S1≤S2≤…≤Sn≤ 根据数列的单调有界准则知，{s收敛的充分 必要条件是{$}有界。因此得到下述重要定理
根据数列的单调有界准则知，{sn }收敛的充分 必要条件是{sn }有界。因此得到下述重要定理。 1 2 n s s s 定义5-3 1 n n u = 的各项 0 n u , 则称级数 n=1 un 为正项级数(positive series)。易知 正项级数 1 n n u = 的部分和数列 如果级数 { }n s 是单调增加数列， 即
定理5-1（正项级数的收敛原理） 正项级数∑4，收敛的充分必要条件是： 它的部分和数列{Sn}有界。 定理5-1不仅可以用来直接判别正项级数 涵 的收敛性，而且是证明下面一系列判别法的 重要基础
定理5-1不仅可以用来直接判别正项级数 的收敛性，而且是证明下面一系列判别法的 重要基础。 定理5-1(正项级数的收敛原理) 正项级数 n=1 un 收敛的充分必要条件是： 它的部分和数列 { }n s 有界
定理5-2（比较判别法） 设4与∑均为正项级数且u,≤，n=12,… 则(1)如果级数∑vn收敛，则级数∑4收敛； n=l 漫 n=1 (2) 如果级数∑发散，则级数 ∑ n发散 n=] n=l
定理5-2(比较判别法) 设 均为正项级数 n=1 un n=1 n v 且 n n u v n =1,2, 则 (1) 如果级数 收敛，则级数 收敛； (2) 如果级数 发散，则级数 发散 n=1 n v n=1 un n=1 un 1 n n v = 与
证明：设级数与级数的部分和分别为Sn,0m 由条件则有， 0≤=24≤∑ k=1 k=1 (1)如果级数 ∑收敛，则其部分和数列{on} n= 00 有界，从而级数∑4的部分和数列{5n}有界， ●● 故由定理5-1知级数∑4，收敛。 n=]
故由定理5-1知级数 1 1 0 n n n k k n k k s u v = = = = 证明: 设级数与级数的部分和分别为 ， 由条件则有, , n n s (1) 如果级数 1 n n v = 收敛，则其部分和数列 { } n 有界，从而级数 n=1 un { }n s n=1 un 的部分和数列 收敛。 有界