2.2初等函数的导数与求导法则 2.2.1几个基本初等函数的导数 2.2.2函数四则运算的求导法则 2.2.3反函数的求导法则 2.2.4复合函数的求导法则 2.2.5基本初等函数的求导公式 涵 2.2.6隐函数的导数 2.2.7对数求导法 2.2.8高阶导数
2.2.2 函数四则运算的求导法则 2.2.3 反函数的求导法则 2.2.6 隐函数的导数 2.2.1 几个基本初等函数的导数 2.2.4 复合函数的求导法则 2.2.7 对数求导法 2.2.8 高阶导数 2.2.5 基本初等函数的求导公式 2.2 初等函数的导数与求导法则
2.2.1几个基本初等函数的导数 1.求幂函数f(x)=x(n为正整数)的导数. 由三项式 Ay=(x+△x)”-xn 定理 =mA+m74++(a, 2 由导数定义 湿 lim 2-1 m △x-→0 △x △x→0 e4age+r nx-1 即 (x")'=x"1 (x“)'=x“(x>0,4∈R)
n n y = (x + x) − x 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) , 2 n n n n n nx x x x x − − − = + + + 1 2 1 0 0 ( 1) lim lim ( ) ( ) 2 n n n x x y n n nx x x x x − − − → → − = + + + . −1 = n nx 1 ( )' n n x nx − = 1 ( )' ( 0 ) x x x R − = ， 由导数定义 即 由二项式 定理 2.2.1 几个基本初等函数的导数 ( ) ( ) . n 1. 求幂函数 f x x n = 为正整数 的导数
2.正弦函数f(x)=sinx的导数 由导数定义 sin(x+△x)-sinx f(x)=(sinx)'=lim △x→0 △x △ 2sin △x sin lim cos(x+ 2 △x lim cos(x+) =cosx. △x→0 △x △x→0 △x 2 2 （sinx)=cosx 同理可得 (cosx)=-sinx
2. ( ) sin 正弦函数 f x x = 的导数 f x x ( ) (sin ) = 0 2sin cos( ) 2 2 lim x x x x → x + = x x x x x + − = → sin( ) sin lim 0 (sin cos x x ) = 由导数定义 (cos sin x x ) 同理可得 = − 0 sin 2 lim cos( ) cos . 2 2 x x x x x → x = + =
3.对数函数f(x)=log。x(a>0,a≠1)的导数 由导数定义 log1+ y'=lim log (x+h)-logx lim h-→0 h -→0 h X I log.(og. 1 xh-→0 xIna 极秋私 (o. (nx)'= 1-x #
( ) log ( 0, 1) . a 3. 对数函数 f x x a a = 的导数 h x h x y a a h log ( ) log lim 0 + − = → 1 (log ) ln a x x a = x x h x h a h 1 log (1 ) lim 0 + = → h x a h x h x lim log (1 ) 1 0 = + → 1 1 log . ln a e x x a = = 1 (ln ) x x = 由导数定义 #
2.2.2函数四则运算的求导法则 定理2-2 如果函数(x),v(x)在点x处可导，则u(c),±(x) 在点x处也可导，并且 [u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x) 证：由导数定义 [a(x)±(x)=lim [W(x+△x)±v(x+△x)]-[(x)±v(x)] △x-→0 △x lim W(x+△x)-(x) ±lim v(x+△x)-v(x) △x→0 △x △x→0 △x =W'(x)+v'(x) 可推广到有限个函数的和差 ∑f(x川=∑x) 1
定理2-2 ( ), ( ) , ( ), ( ) , u x v x x u x v x x 如果函数 在点 处可导 则 在点 处也可导 并且 [ ( ) ( )] ( ) ( ) u x v x u x v x = 2.2.2 函数四则运算的求导法则 证：由导数定义 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) lim x u x x v x x u x v x u x v x → x + + − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x x u x x u x v x x v x → → x x + − + − = = u(x) + v(x) [ ( )] ( ) 1 1 f x f x n i i n i i = = 可推广到有限个函数的和差 =