推论1若limf(x)=A≠0,则存在δ>0,当0x-x<δ时,成立 x→x 2 证由!mf(x)=A及(x)-4s(x)-4,可知m(x)=|A4。令 x→>x0 x→>x0 g(x)=,由<4及定理3.2,可知存在δ>0,当04x-xk6时,成 立 (x)>
推论1 若 0)(lim 0 = ≠ → Axf xx ，则存在δ > 0，当 < − xx 0 ||0 < δ 时，成立 2 )( A xf > 。 证 由 Axf xx = → )(lim 0 及 )()( −≤− AxfAxf ，可知 Axf xx = → )(lim 0 。令 2 )( A xg = ，由 A A < 2 及定理3.1.2，可知存在δ > 0 ,当 0 0| | < x x − < δ 时，成 立 2 )( A xf >
推论2若limf(x)=A,img(x)=B,且存在r>0,使得当 0<|x-x0k<r时,成立g(x)≤f(x),则 B< A 证反证法。若B>A,则由定理3,1.2,存在δ>0,当0<x-xkδ 时, g(x)> f(x) 取n=min{δ,r},则当0<x-xk<n时,既有g(x)>f(x),又有 g(x)≤f(x),从而产生矛盾
推论2 若 lim x x → 0 f x( ) = A， lim x x → 0 g( ) x = B ,且存在r ＞0，使得当 0 < | | xx r − 0 < 时，成立 g x( ) ≤ f x( ) ,则 B ≤ A。 证 反证法。若B > A，则由定理3.1.2，存在δ > 0，当 0 0| | < x x − < δ 时， g x( ) > f x( ) 。 取η = min {δ ，r }，则当 0 0| | < x x − <η 时，既有 g x( ) > f x( ) , 又有 g x( ) ≤ f x( ) ，从而产生矛盾
推论2若imf(x)=A,ig(x)=B,且存在r>0,使得当 x→>x0 0<|x-x0k<r时,成立g(x)≤f(x),则 B<A 证反证法。若B>A,则由定理3,1.2,存在δ>0,当0<x-xkδ 时, g(x)>f(x)。 取n=min{δ,r},则当0<x-xkn时,既有g(x)>f(x),又有 g(x)≤f(x),从而产生矛盾。 注意:既使将推论2的条件加强到当0<|x-x0<r时,成立 (x)<f(x),也只能得到B≤A的结论,而不能得到B<A的结论
注意：既使将推论2的条件加强到当0 < | | xx r − 0 < 时，成立 g x( ) < f x( ) , 也只能得到B A ≤ 的结论，而不能得到B A < 的结论。 推论2 若 lim x x → 0 f x( ) = A， lim x x → 0 g( ) x = B ,且存在r ＞0，使得当 0 < | | xx r − 0 < 时，成立 g x( ) ≤ f x( ) ,则 B ≤ A。 证 反证法。若B > A，则由定理3.1.2，存在δ > 0，当 0 0| | < x x − < δ 时， g x( ) > f x( ) 。 取η = min {δ ，r }，则当 0 0| | < x x − <η 时，既有 g x( ) > f x( ) , 又有 g x( ) ≤ f x( ) ，从而产生矛盾
推论3(局部有界性)若limf(x)=A,则存在δ>0,使得f(x)在 x→>x0 O(x,)\{x}中有界。 证取常数M与m,满足m<A<M,令g(x)=m,hx)=M为两个常 数函数,由定理31.2可知存在δ>0,当0<x-x0k<6时,成立 m<f(x)<M。 证毕
推论3 (局部有界性) 若 lim x x → 0 f x( ) = A, 则存在δ > 0，使得 f x( ) 在 ),(xO 0 δ \{ x0 } 中有界。 证 取常数 M 与m，满足m < A < M ,令 g( ) x m= , h( ) x = M 为两个常 数函数，由定理3.1.2可知存在δ > 0 ,当 0 0| | <− < x x δ 时，成立 m < f ( ) x < M 。 证毕
(3)夹逼性 定理3.1.3若存在r>0,使得当0<|x-x0<r时,成立 g(x)≤f(x)≤h(x) 且limg(x)=1m(x)=A,则imf(x)=h x→>x0 x→x0 证yE>0,由imhx)=A,可知彐8>0,yx(04x-x0k<a): (x)-AkE,从而 h (x)<a+E 由img(x)=A,可知彐δ2>0,Vx(0<x-xok62):|g(x)-Ak, 从而 A-E<g(x)。 取δ=min{o,2,r},vx(0<x-xnk<δ) A-E<g(x)≤f(x)≤h(x)<A+E, 所以 lim f(x)=A 证毕
(3) 夹逼性 定理3.1.3 若存在r > 0，使得当0 < | | xx r − 0 < 时，成立 g x( ) ≤ f ( ) x ≤ h x( ) , 且 lim x x → 0 g x( ) = lim x x → 0 h x( ) = A，则 lim x x → 0 f x( ) = A。 证 ∀ ε > 0，由 lim x x → 0 h( ) x = A，可知 ∃ 1 δ > 0 , ∀ x ( 0 1 0| | < x x − < δ )： | hx A ( ) − |< ε ，从而 h x( ) < A+ ε ； 由 lim x x → 0 g( ) x = A，可知∃ 2 δ > 0，∀ x ( 0 2 0| | <− < x x δ ):| () | gx A − < ε ， 从而 A-ε < g( ) x 。 取δ = min { 1 2 δ , , δ r }, ∀ x ( 0 0 <| | x x − < δ ): A −ε < g( ) x ≤ f x() () ≤ h x < A + ε ， 所以 lim x x → 0 f x( ) = A。 证毕