例3.1.4证明:lim sInx 证(图3.1.2)设∠AOB的弧度为x,0<x<,由于 2 △OAB面积<扇形OAB面积<△OBC面积, 得到 sinx<x<tanx,0<x<-。 从而 sinx COSx< 0<x< 显然上式对于-2<x<0也成立。由于 cosx-1|=2sin2-≤ 22 O B 可知 lim cos x=1。应用极限的夹逼性,得到 x→)0 sinx 图3.12 x→>0x
例 3.1.4 证明： lim x→0 sin x x = 1 证 （图3.1.2）设∠AOB的弧度为 π , 0 2 x x < < ，由于 △OAB面积＜扇形OAB面积＜△OBC面积， 得到 sin tan x < <x x ， π 0 2 < x < 。 从而 sin cos 1 x x x < < ， π 0 2 < x < 。 显然上式对于 π 0 2 −<<x 也成立。由于 cos 1 x − = 2 2sin 2 x ≤ x 2 2 ， 可知 0 lim cos 1 x x → = 。应用极限的夹逼性，得到 lim x→0 sin x x = 1。 y C A O B x 图3.1.2
注此极限亦可由例2.4.5的结果 sin(a/n) lim n->兀/n 直接导出:对任意x∈ 0},一定存在正整数n,满足 < x|≤-, n+1 n 由此得到 sin[/(n+1] n sinx sin(a/n)n+1 T/(n+1)n+1 兀/n n 当x→>0时有n→∞,利用极限的夹逼性,即有 lim sinr
注 此极限亦可由例2.4.5的结果 lim n→∞ sin(π ) 1 π n n = 直接导出：对任意 π π, {0} 2 2 x ⎛ ⎞ ∈ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠\ ，一定存在正整数n，满足 π π | | 1 x n n < ≤ + ， 由此得到 sin[π ( 1)] π ( 1) 1 n n n n + ⋅ + + < < sin x x sin(π ) 1 π n n n n + ⋅ 。 当x → 0时有n → ∞，利用极限的夹逼性，即有 lim x→0 sin x x = 1
函数极限的四则运算 定理3.1.4设limf(x)=A,limg(x)=B,则 x→>x0 →x0 ()lim(af(x)+Bg(x)=a4+BB(a,B是常数) x→x (I lim(f(x)g(x)=AB x→x (l) lim (x)A x8(x)B(B≠0)
函数极限的四则运算 定理3.1.4 设 lim x x → 0 f x( ) = A, lim x x → 0 g x( ) = B，则 (I) lim x x → 0 (α f ( ) x + β g x( ) )=α A+ β B (α ，β 是常数)； (II) lim x x → 0 ( f x( ) g x( ) )=AB； (III) lim x x → 0 f x g x ( ) ( ) = A B (B≠0)
函数极限的四则运算 定理3.1.4设limf(x)=A,limg(x)=B,则 x→>x0 →x0 ()lim(af(x)+Bg(x)=a4+BB(a,B是常数) x→x (I lim(f(x)g(x)=AB x→x (l) lim f(x)4 x8(x)B(B≠0) 证由limf(x)=A,可知彐δn>0,vx(04x-x0k<6): f(x)|≤X, 且yE>0,3δ1>0,yx(0<x-xnk1) f(x)-A|<E; 再由img(x)=B,可知32>0,x(0<x-xnk2) x→ 8(x)-B<8
证 由 lim x x → 0 f x( ) = A，可知∃ 0 δ > 0，∀x ( 0 0 0 <| | x x − < δ ) ： | f x( ) | ≤ X ， 且∀ ε > 0，∃ 1 δ > 0，∀ x ( 0 1 0 <| | x x − < δ )： | f ( ) x A − | < ε ； 再由 lim x x → 0 g( ) x =B，可知∃ 2 δ > 0，∀x ( 0 2 0 <| | x x − < δ )： gx B ( ) − < ε 。 函数极限的四则运算 定理3.1.4 设 lim x x → 0 f x( ) = A, lim x x → 0 g x( ) = B，则 (I) lim x x → 0 (α f ( ) x + β g x( ) )=α A+ β B (α ，β 是常数)； (II) lim x x → 0 ( f x( ) g x( ) )=AB； (III) lim x x → 0 f x g x ( ) ( ) = A B (B≠0)