例3.1.1证明lime=1。 证>0(不妨设0<E<1),要找δ>0,使得当0<<6时,成 立 1|<E 上式等价于 n(1-E)<x<hn(1+E), 取δ=min{m+),-hm(-)}>0,当x满足0<x<o时,成立 <8, 所以 lim e=1。 同样,对任意给定的ε>0,正数δ并不要求取最大的或最佳的值, 所以对具体的函数极限问题,常常采用与数列极限证明时类似的适度 放大技巧
同样，对任意给定的ε > 0，正数δ 并不要求取最大的或最佳的值， 所以对具体的函数极限问题，常常采用与数列极限证明时类似的适度 放大技巧。 例 3.1.1 证明 0 lime 1 x x→ = 。 证 ∀ ε > 0 (不妨设0 1 < ε < )，要找δ > 0，使得当0 < x < δ 时，成 立 ｜e 1 x − ｜< ε 。 上式等价于 ln(1 ) −ε < x < ln(1 ) + ε ， 取δ = min{ + ε )1ln( , ln(1 )} 0 − − > ε ，当x满足0 < x < δ 时，成立 ｜e 1 x − ｜< ε ， 所以 lim x→0 e 1 x =
例3.1.2证明limx2=4。 证对任意给定的ε>0,要找δ>0,使得当0<x-2kδ时,成立 4 <E 因为|x2-4|=x-2x+2,保留因子|x-21,而将因子 x+2放大,为此加上条件 2<1,即1<x<3, 于是x+2<5,从而有 4<5x-2 取6=min12},则当0<x-2<6时,成立 X+2< E 所以 lim x=4 x→2
例3.1.2 证明 2 2 lim 4 x x → = 。 证 对任意给定的ε > 0，要找δ > 0 ，使得当0 | 2| < x − < δ 时，成立 ｜ 2 x − 4 ｜< ε 。 因为｜ 2 x − 4 ｜= xx +⋅− 22 ， 保留因子｜ x − 2 ｜，而将因子 ｜ x + 2 ｜放大，为此加上条件 x − 2 1 < ， 即1 3 < x < ， 于是 x + 2 5 < ，从而有 2 x x − 45 2 < − 。 取δ = min ⎭⎬⎫ ⎩⎨⎧ 5,1 ε ，则当0 2 < x − < δ 时，成立 ｜ 2 x − 4 ｜= xx +⋅− 22 5 5 ε <⋅ = ε ， 所以 2 2 lim 4 x x → =
例3.1.3证明im x(x-1)1 证 XIx 保留因子|x-1,而将因子 放大。为此,加上条件 2|x+1 0<x-1<1,即0<x 于是 < x 取8=min{.26},则当0<x-1k6,成立 x(x x <-2E 122|x+1|2 所以 x(x-1)1 Im x→l x
例3.1.3 证明lim ( ) x x x → x − 1 −2 1 1 = 1 2 。 证 2 1 1 )1( 2 − − − x xx = | | | | x x − + 1 2 1 ， 保留因子| | x − 1 ，而将因子 1 2 1 | | x + 放大。为此，加上条件 0 11 < x − < ，即0 2 < x < , 于是 1 1 2| 1| 2 x < + 。 取δ = min 1, 2 { }ε ，则当0 1 < x − < δ ，成立 2 1 1 )1( 2 − − − x xx = | | | | x x − + 1 2 1 ＜ 1 2 ⋅2ε = ε ， 所以 2 1 ( 1) lim x 1 x x → x − = − 1 2
函数极限的性质 1)极限的唯一性 定理3.1.1设A与B都是函数f(x)在点x的极限,则A=B 证根据函数极限的定义,可知: E>0,36>0,Vx(0<x-xka):f(x)-4k 彐62>0,Vx(0<x-x0k<a2):|f(x)-Bk 取δ=min{a,a2},当04x-xkd时, A-B|sf(x)-4|+1(x)-B|<E。 由于ε可以任意接近于0,可知A=B。 证毕
函数极限的性质 (1) 极限的唯一性 定理3.1.1 设 A与 B都是函数 f x( ) 在点 x0的极限，则 A = B。 证 根据函数极限的定义，可知： ∀ ε > 0，∃ 1 δ > 0，∀ x ( 0 1 0| | < x x − < δ )：| () | 2 fx A ε − < ； ∃ 2 δ > 0，∀ x ( 0 2 0| | < x x − < δ )：| () | 2 fx B ε − < 。 取δ = min { 1 2 δ ,δ }，当 0 0| | < x x − < δ 时， | A- B | ≤| () | f x A − + | () | f x B− < ε 。 由于ε 可以任意接近于0，可知 A= B。 证毕
(2)局部保序性 定理3.1.2若limf(x)=A,limg(x)=B,且A>B,则存在δ>0, x→x0 当0<x-x0k<δ时,成立 f(x)>g(x) 证取51=4-B>0。由lmf()=A,>0,x(04xxk6 x→ f(x)-4ks0,从而 atB <f(x); 2 由img(x)=B,彐2>0,Vx(0<x-xka2) x→x x)-Bk6,从而g(x)<4+B 2 取δ=min{6,62},当0<x-xkδ,成立 A+B g(x) 证毕
(2) 局部保序性 定理3.1.2 若 lim x x → 0 f x( ) = A，lim x x → 0 g( ) x = B，且 A > B，则存在δ > 0， 当 0 0 <| | x x − < δ 时，成立 f ( ) x > g( ) x 。 证 取 0 ε = 0 2 A B− > 。由 limx x → 0 f x( ) = A，∃ 1 δ > 0，∀ x ( 0 1 0 <| | x x − < δ )： | () | f x A − < 0 ε ，从而 2 A+ B < f x( ) ； 由 lim x x → 0 g( ) x = B , ∃ 2 δ > 0，∀ x ( 0 2 0 <| | x x − < δ )： | () | gx B− < 0 ε ，从而 g x( ) < A B +2 。 取δ = min { 1 2 δ ,δ }，当 0 0| | < x x − < δ ，成立 g( ) x 2 A+ B < < f x( ) 。 证毕