四种典型部分分式的积分dx = Alnx-aα+C-a)l-n +C (n≠1)x-Xn-n+ px+q)Mx+N=2x+pdx变分子为x? + px + q.Mp(2x+p) +N_NMx+Ndx再分项积分+ px +q)"A(p2-4q<0,n±l)HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1 − x x a A 1. d − x x a A n d ( ) 2. + + + x x px q M x N 3. d 2 + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2 ( 4 0 , 1) 2 p − q n 变分子为 (2 ) 2 x p M + 2 M p + N − 再分项积分 x p x px q = + + + 2 ( ) 2
dx例2. 求(1 + 2x)(1 + x2)解：已知42x例1(3)(1 + 2x)(1 + x2) = 1+2x1+ xrd(1 + 2x)d(l + x#原式1+2x+2xIn(arctanx +C.HIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页例1(3)返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例2. 求 . (1 2 )(1 ) d 2 + x + x x 解: 已知 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x = 5 1 1 2x 4 + 2 1 2 x x + − + + 2 1 1 x + + = x x 1 2 d(1 2 ) 5 2 原式 + + − 2 2 1 d(1 ) 5 1 x x + + 2 1 d 5 1 x x ln 1 2x 5 2 = + ln(1 ) 5 1 2 − + x + arctan x +C 5 1 例1(3) 例1(3)
x-2dx例3. 求x? +2x+3(2x+2)-3解：原式dxx2 +2x+3d(x~ + 2x +3)d(x +1)x? +2x+3(x + 1)2 + (V2)2x+1+C+2x+3Trarctan212x-2dx ?思考：如何求(x2 +2x+3)提示：变形方法同例3，并利用书P363公式20HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求 d . 2 3 2 2 x x x x + + − 解: 原式 x x x d 2 3 2 + + = (2 2) 3 2 1 x + − + + + + = 2 3 d( 2 3) 2 1 2 2 x x x x ln 2 3 2 1 2 = x + x + + + + − 2 2 ( 1) ( 2) d( 1) 3 x x C x + + − 2 1 arctan 2 3 思考: 如何求 d ? ( 2 3) 2 2 2 x x x x + + − 提示: 变形方法同例3, 并利用书 P363 公式20
说明：将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行但不一定简便，因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法2x3 + 2x~ + 5x +5例4. 求 I =dxx4 +5x22 +42x2 +5Y+5x解：dx -dx5x2+4S++(x~+4)Hdx(x2 +1)(x2 + 4)5xIn x 4+arctan x +Carctan+22HIGHEREDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 + + + x x x d ( 1)( 4) 2 2 ( 1) ( 4) 2 2 x + + x + 例4. 求 d . 5 4 2 2 5 5 4 2 3 2 + + + + + = x x x x x x I + + + = x x x x x I d 5 4 2 5 4 2 3 + + + + x x x x d 5 4 2 5 4 2 2 + + + + = 5 4 d( 5 5) 2 1 4 2 4 2 x x x x ln 5 4 2 1 4 2 = x + x + 2 arctan 2 1 x + + arctan x +C 解: 说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法