8 6. 因子分解与多项式的根6.1根与一次因子6.2重根
§6. 因子分解与多项式的根 6.1 根与一次因子 6.2 重根
6.1根与一次因子在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是中学代数的习知定理的推广
6.1 根与一次因子 在这一章的最后我们讨论一下，一个整环上的一元多项式 环里的因子分解同多项式的根的关系。这一节的结果都是 中学代数的习知定理的推广
定义1I的元α叫做[xl的多项式f(x）的一个根，假如f(a)=0例1.在Zs上,求多项式f(x)=x2+[1]的根
定义1 I 的元 a 叫做 I x 的多项式 f x( ) 的一个根，假如 f a( ) = 0 例1. 在 Z5 上, 求多项式 f x x ( ) = +2 [1] 的根
定理1f(x）被x-α除的余式r=f(a)，即：f(x)可以写出f(x)=q(x)(x-a)+r, rel并且r=f(a)。证明因为x-α的最高系数1是一个单位，依照IV，4，引理, f(x)=g(x)(x-a)+r, re I用α 代入, 得 f(a)=q(a)(a-a)+r=r
定理 1 被 除的余式 , 即: 可以写出 并且 。 f x( ) x a − f x( ) r f a = ( ) r f a = ( ) f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( ) , 证明 因为 的最高系数1是一个单位，依照Ⅳ，4，引 理， 用 代入，得 x a − f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( ) , a f a q a a a r r ( ) = − + = ( )( )
推论1α是f()的一个根，当而且只当f(x)能被x-α整除的时候。证明可以表达为f(x)=q(x)(x-a)+r, rel
推论1 是 的一个根，当而且只当 能被 整除 的时候。 a f x( ) f x( ) x a − 证明 可以表达为 . f x q x x a r r I ( ) = − + ( )( )