复变函数第五章留数第一节孤立奇点留数第二节第三节留数在定积分计算上的应用U
1 • 第一节 孤立奇点 • 第二节 留 数 • 第三节 留数在定积分计算上的应用
复变函数第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念5二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考U
一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
复变函数孤立奇点的概念定义如果函数 f(z)在 z不解析,但 f(z)在 zo的某一去心邻域0zo<内处处解析,则称zo为 f(z)的孤立奇点sin例1 Z= 0 是函数的孤立奇点0ZZ=-1是函数的孤立奇点z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。U
3 定义 如果函数 0 f (z)在 z 不解析, 但 f (z)在 0 z 的某一去心邻域 � � � � 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z)的孤立奇点. 例1 z � 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z � �1是函数 1 1 z � 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点
复变函数2N例2 指出函数 f(z)在点=0的奇点特性sinZ解，函数的奇点为Z=0,z(k =±1,±2,.)k元1因为0,lim三k→ k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内，总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点U
4 例2 指出函数 在点 z � 0 z z f z 1 sin ( ) 2 � 的奇点特性. 解 � � � k z z 1 0 , (k � �1,� 2 ,�) 因为 0� 1 lim � k�� k� 即在z � 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以z � 0 不是孤立奇点
复变函数2. 分类以下将f(s)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：2n2sin zNZ(1)+(-1)"+5!3!(2n + 1)!特点：没有负幂次项n-1n-1+81eZZIM"M(2)=+1+→+2!n!n!77=特点：只有有限负幂次项(3)e= 1 + z十·+十+77.2!n!特点：有无穷多负幂次项U
5 2. 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数�根 据展开式的不同情况�将孤立点进行分类。考察� � � � � � � � � � � (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点�没有负幂次项 � � � � � � � � � � �� � � �� � � 2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点�只有有限负幂次项 � � � � � � � � z � n � � n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点�有无穷多负幂次项