这里,f(x)是E[xl里最高系数为1的不可约多项式。这样存在一个域E, = E, (α)= F(α)(α2)= F(α1,α2)而α,在 E,上的极小多项式是 (x)在E,[x]是f(x)=(x-α)(x-α2)f (x)g (x)f(x)是E,[xl的最高系数为1的不可约多项式。这样我们又可以利用f(x)来得到域 E,=F(α,α2,α)使得在E,[x里f(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3) f4(x)g4 (x)这样一步一步地我们可以得到域E= F(αj,α2,"",α,)使得在E[x]里证完f(x)=a, (x-α)(x-α2)...(x-αn)
这里 是 里最高系数为1的不可约多项式。这 样存在一个域 而 在 上的极小多项式是 在 是 是 的最高系数为1的不可约多项式。这样我 们又可以利用 来得到域 ，使得在 里 这样一步一步地我们可以得到域 使得在 里 证完 f x 2 ( ) E x 1 E E F F 2 1 2 1 2 1 2 = = = ( ) ( )( ) ( , ) 2 E1 f x 2 ( ) E x 2 f x x x f x g x ( ) = − − ( 1 2 3 3 )( ) ( ) ( ) f x 3 ( ) E x 2 f x 3 ( ) E F 3 1 2 3 = ( , , ) E x 3 f x x x x f x g x ( ) = − − − ( 1 2 3 4 4 )( )( ) ( ) ( ) E F = ( 1 2 3 , , , ) E x f x a x x x ( ) = − − − n n ( 1 2 )( ) ( )
域F上一个多项式f(x）当然可能有不同的在F上的分裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要两个引理。引理1令L和L是两个同构的域。那么多项式环L[x]和L[x]也同构证明令αa是L与L间的同构映射，我们规定一个L[x]到 [x]的映射Ea,x-Eaix@:Φ显然是 L[x]与[x]间的一一映射。我们看 L[x] 的两个元 f(x)和g(x) :
域F上一个多项式 当然可能有不同的在F上的分 裂域。但是这些域都同构。要证明这一点，我们需要 两个引理。 f x( ) 引理 1 令 和 是两个同构的域。那么多项式环 和 也同构。 L L L x L x 证明 令 是 与 间的同构映射，我们规定一 个 到 的映射 显然是 与 间的一一映射。我们看 的两 个元 和 ： a a L L L x L x : i i i i a x a x → L x L x L x f x( ) g x( )