2C21C22C2na2......mCm2CmnamCml销量bb,b2Zrymin:i=l j=l=bj=1,2,,ni=1,2,.,m=aXijx,≥0mxn个变量，m+n个约束方程，但由于总产量等于总销量的关系存在，所以,独立的约束方程为m+n-1,因此，其可行解中的基变量个数必然是m+n-1。系数矩阵：变量x，的系数向量P，除第i个分量和第m+j个为1外其余为零。3.2运输问题的求解：表上作业法表上作业法实际上是单纯形法在求解运输问题时的一个简化，主要步骤：（1）找出初始基可行解：最小元素法和伏格尔（Vogel）法最小元素法：优先满足运价最小的供销关系例：销地B,B3B4B2产量(吨)产地At3113107A212849A3710594356销量（吨）6
2 21 c 22 c . n c2 2 a . . . . . . m m1 c m2 c mn c m a 销量 1 b 2 b . n b = = = = = = = = = 0 1,2,., 1,2,., min 1 1 1 1 ij n j ij i m i ij j m i n j ij ij x x a i m x b j n z c x mn 个变量， m + n 个约束方程，但由于总产量等于总销量的关系存在，所 以，独立的约束方程为 m+ n −1 ，因此，其可行解中的基变量个数必然是 m+ n −1。 系数矩阵：变量 ij x 的系数向量 Pij 除第 i 个分量和第 m + j 个为 1 外其余为零。 3.2 运输问题的求解：表上作业法 表上作业法实际上是单纯形法在求解运输问题时的一个简化，主要步骤： （1）找出初始基可行解：最小元素法和伏格尔（Vogel）法 最小元素法：优先满足运价最小的供销关系 例： 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨） A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量（吨） 3 6 5 6
B2B3销地B4产量 (吨)Bi.....产地311107At9284A2....(3)1059A3435销量 (吨）66......BB2B3B4产量(吨)销地.....+.产地7At311310+++94A28??.*.(3)(1)75A31094.03..5销量 (吨)66.............Bs销地B2 B4产量 (（吨）.........产地3107At11?(4)98A4(3)(1)7.5109A34销量 (吨)3656
销地 产地 B 1 B 2 B 3 B 4 产量（吨） A 1 3 11 3 10 7 A 2 ○1 （3） 9 2 8 4 A 3 7 4 10 5 9 销量（吨） 3 6 5 6 销地 产地 B 1 B 2 B 3 B 4 产量（吨） A 1 3 11 3 10 7 A 2 ○1 （3） 9 ○2 （1） 8 4 A 3 7 4 10 5 9 销量（吨） 3 6 5 6 销地 产地 B 1 B 2 B 3 B 4 产量（吨） A 1 3 11 ○3 （4） 10 7 A 2 ○1 （3） 9 ○2 （1） 8 4 A 3 7 4 10 5 9 销量（吨） 3 6 5 6
销地B,B3产量(吨)B2B4.............................+....产地i1At3107?(4)OA284E(i)(3)11059As?(6)35销量(吨)66销地B,B2B3B4产量(吨)............产地...7At?............(3)(4).....O8A2O(i)(3)710As9?......................(6)(3)35销量(吨)66BB3B4销地B2产量(吨)产地
销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨） A1 3 11 ○3 （4） 10 7 A2 ○1 （3） 9 ○2 （1） 8 4 A3 7 ○4 （6） 10 5 9 销量（吨） 3 6 5 6 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨） A1 3 11 ○3 （4） 10 （3） 7 A2 ○1 （3） 9 ○2 （1） 8 4 A3 7 ○4 （6） 10 ○5 （3） 9 销量（吨） 3 6 5 6 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨）
At437A2314A39636356销量(吨)伏格尔法：优先满足最小运价与次小运价差值最大的行、列中的最小运价所对应的供销关系。销地B,B2B3B4行差产地A103310111A21928④5A37101列差2513（2）求各非基变量（空格）的检验数。闭回路法：首先找到与空格对应的闭回路，规则是从要检验空格出发用水平或垂直线向前滑，碰到数字格转90度（也可不转，空格处绝不转），最后回到出发空格形成闭回路。然后，在该空格处试着增加1单位运量，并保持平衡，在闭回路作相应的调整，调整后回路的总运费相对于调整前的变动量就是该空格的检验数销地B,B3B4产量(吨)B2产地At①②374A2③343A3693销量（吨）566
A1 4 3 7 A2 3 1 4 A3 6 3 9 销量（吨） 3 6 5 6 伏格尔法：优先满足最小运价与次小运价差值最大的行、列中的最小运价所对应 的供销关系。 销地 产地 B1 B2 B3 B4 行差 A1 3 11 3 10 0 A2 1 9 2 8 1 A3 7 ○4 10 5 1 列差 2 5 1 3 （2）求各非基变量（空格）的检验数。 闭回路法：首先找到与空格对应的闭回路，规则是从要检验空格出发用水平或垂 直线向前滑，碰到数字格转 90 度（也可不转，空格处绝不转），最后回到出发空 格形成闭回路。然后，在该空格处试着增加 1 单位运量，并保持平衡，在闭回路 作相应的调整，调整后回路的总运费相对于调整前的变动量就是该空格的检验数 销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨） A1 ① ② 4 3 7 A2 3 1 ③ 4 A3 6 3 9 销量（吨） 3 6 5 6
销地B,B2B3B4产量(吨)产地A17431A2④43?9A36633656销量(吨）如空格A;B，的检验数：7*1-5*1+10*1-3*1+2*1-1*1=10空格A,B.的检验数：8*1-2*1+3*1-10*1=-1位势法：构造位势U,(i=1,2...m)和V(j=1,2..n)；由基变量的检验数C,-(U,+V)=0，可得C，=U,+V；任取U(i=1,2...m)、V(j=1,2..n)其中之一为零，可求得其他U,(i=1,2..m)、Vj=1,2..n)；最后，由C,-(U,+V)可求得个非基变量（空格）的检验数。销地B1B2B3B4U,产地3A13-111010(-8+10)- (10-1)1A229 -(9-1)8 (9+0)95A3457- (-8+5)10-(-7+5)-8-1-70Vi（3）若存在检验数为负的空格，用闭回路法进行调整，检验数最小的空格优先调整。调整时，以相应的空格位调入格（以它对应的非基变量为换入变量），以相应的闭回路进行调整，调入量为闭回路中数字格中所能调出量的最小者
销地 产地 B1 B2 B3 B4 产量（吨） A1 4 3 7 A2 3 ④ 1 4 A3 ⑤ 6 ⑥ 3 9 销量（吨） 3 6 5 6 如空格 A3B1的检验数：7*1-5*1+10*1-3*1+2*1-1*1=10 空格 A2B4的检验数：8*1-2*1+3*1-10*1=-1 位势法： 构造位势 U (i 1,2.m) i = 和 V ( j 1,2.n) j = ；由基变量的检验数 Cij − (Ui +Vj ) = 0 ， 可得 Cij = Ui +Vj ；任取 U (i 1,2.m) i = 、V ( j 1,2.n) j = 其中之一为零，可求得其 他 U (i 1,2.m) i = 、V ( j 1,2.n) j = ；最后，由 ( ) Cij − Ui +Vj 可求得个非基变量（空 格）的检验数。 销地 产地 B1 B2 B3 B4 Ui A1 3- (-8+10) 11 -(10-1) 3 10 10 A2 1 9 -(9-1) 2 8 -(9+0) 9 A3 7- (-8+5) 4 10-(-7+5) 5 5 Vj -8 -1 -7 0 （3）若存在检验数为负的空格，用闭回路法进行调整，检验数最小的空格优先 调整。调整时，以相应的空格位调入格（以它对应的非基变量为换入变量），以 相应的闭回路进行调整，调入量为闭回路中数字格中所能调出量的最小者