《高等代数2》课程教学大纲(Advance Algebra)一、课程概况课程名称：高等代数2课程代码：07100240课程性质：专业必修课【核心课】课程学分：6学分预修课程：高等代数1，解析几何开课学期：第2学期课程学时：90学时（理论总学时/实践总学时：75/15）课程周学时：6学时（理论学时/实践学时：5/1）考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合课程负责人：李巍二、课程目标课程目标1：系统掌握二次型、线性空间、线性变换和欧式空间的基本概念、思想和方法，能够运用相关理论解决本学科的具体或抽象问题，锻炼良好的逻辑推理能力、抽象思维能力以及严谨的数学表达能力。课程目标2：通过探究线性空间的结构，线性变换的表示及应用，欧氏空间的内积的作用培养学生的代数思维和视角，构建起独立思考、主动探究、批判性思维以及建模能力和创新能力。课程目标3：通过分组讨论汇报，增强学生团队协作活动的体验，培养其良好的团队协作精神和沟通表达能力。三、课程目标与毕业要求的关系1.课程目标与毕业要求的对应关系毕业要求课程目标毕业要求分解指标点3-1系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，具有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学学科素养课程目标1科专业能力；
《高等代数 2》课程教学大纲 （Advance Algebra） 一、课程概况 课程名称：高等代数 2 课程代码：07100240 课程性质：专业必修课 【核心课】 课程学分：6 学分 预修课程：高等代数 1，解析几何 开课学期：第 2 学期 课程学时：90 学时（理论总学时/实践总学时：75/15） 课程周学时：6 学时（理论学时/实践学时：5/1） 考核方式：闭卷笔试、平时考核相结合 课程负责人：李巍 二、课程目标 课程目标 1：系统掌握二次型、线性空间、线性变换和欧式空间的基本概念、思想 和方法，能够运用相关理论解决本学科的具体或抽象问题，锻炼良好的逻辑推理能力、 抽象思维能力以及严谨的数学表达能力。 课程目标 2：通过探究线性空间的结构，线性变换的表示及应用，欧氏空间的内积 的作用培养学生的代数思维和视角，构建起独立思考、主动探究、批判性思维以及建模 能力和创新能力。 课程目标 3：通过分组讨论汇报，增强学生团队协作活动的体验，培养其良好的团 队协作精神和沟通表达能力。 三、课程目标与毕业要求的关系 1.课程目标与毕业要求的对应关系 毕业要求 毕业要求分解指标点 课程目标 学科素养 3-1 系统掌握数学学科的基本知识、基本原理和基本技能，具 有良好的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等数学学 科专业能力； 课程目标 1
7-2初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方法，能够应用英语阅读相关材料，跟踪国内外数学教育发展趋势。学会反思课程目标2能够对数学基础教育实践问题进行全方位的思考与研究，基于质疑、求证、判断发展批判性思维；8-1理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在教沟通合作学过程中的重要作用；掌握团队协作的相关知识与技能，具有课程目标3团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图学会反思沟通合作学科素养课程目标3-17-28-1H课程目标1M课程目标2M课程目标3（注：H代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M代表中支撑，L代表低支撑。）四、课程教学内容与课程目标的对应关系章次内容支撑课程目标第五章二次型课程目标1第六章线性空间课程目标1、2、3第七章线性变换课程目标1、2、3第九章欧氏空间课程目标1、2五、教学方式（一）课堂讲授通过二次型及其标准型，规范型和正定二次型的学习，掌握代数学中二次型及二次曲线的分类方法及其性质：通过线性空间的学习，掌握维数、基底、坐标的作用及实际意义，理解它们是中学数学和实际问题中相关概念的概括、抽象和提升，从而建立起实际与理论，具体与抽象之间的联系。通过子空间及其相关运算的学习，从代数学的角度理解部分和整体之间的关系。通过对线性变换的矩阵理解将实际问题数量化的方法，通过线性变换特征值、特征向量和不变子空间的探究理解研究线性变换问题的代数方法。通过对欧式空间的学习，理解了解析几何中二、三维空间向量的长度、夹角、正交等问题的代数本质---内积，提升学生的抽象思维和逻辑推理能力
学会反思 7-2 初步掌握反思的方法与技能和教育科学研究的常用方法， 能够应用英语阅读相关材料，跟踪国内外数学教育发展趋势。 能够对数学基础教育实践问题进行全方位的思考与研究，基于 质疑、求证、判断发展批判性思维； 课程目标 2 沟通合作 8-1 理解专业学习共同体的特点和价值，了解学习共同体在教 学过程中的重要作用；掌握团队协作的相关知识与技能，具有 团队协作活动的体验，具备良好的团队协作精神。 课程目标 3 2.课程目标与毕业要求的矩阵关系图 课程目标 学科素养 学会反思 沟通合作 3-1 7-2 8-1 课程目标 1 H 课程目标 2 M 课程目标 3 M （注：H 代表课程分目标与毕业要求分指标点为高支撑，M 代表中支撑，L 代表低支撑。） 四、课程教学内容与课程目标的对应关系 章次 内容 支撑课程目标 第五章 二次型 课程目标 1 第六章 线性空间 课程目标 1、2、3 第七章 线性变换 课程目标 1、2、3 第九章 欧氏空间 课程目标 1、2 五、教学方式 （一）课堂讲授 通过二次型及其标准型，规范型和正定二次型的学习，掌握代数学中二次型及二次 曲线的分类方法及其性质；通过线性空间的学习，掌握维数、基底、坐标的作用及实际 意义，理解它们是中学数学和实际问题中相关概念的概括、抽象和提升，从而建立起实 际与理论，具体与抽象之间的联系。通过子空间及其相关运算的学习，从代数学的角度 理解部分和整体之间的关系。通过对线性变换的矩阵理解将实际问题数量化的方法，通 过线性变换特征值、特征向量和不变子空间的探究理解研究线性变换问题的代数方法。 通过对欧式空间的学习，理解了解析几何中二、三维空间向量的长度、夹角、正交等问 题的代数本质-内积，提升学生的抽象思维和逻辑推理能力
（二）课堂讨论对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知识和处理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行2次左右。（三）课后作业布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲评或让学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内容梳理总结、反思，理解抽象代数与中学数学的内涵联系。六，教学内容及学时分配（一）教学内容与学时分配各章教学内容与学时分配表章次内容总课时理论课时实践课时五16313二次型六26224线性空间七26224线性变换九184欧式空间22（二）教学内容纲要第五章二次型（16学时）1.教学目的与要求掌握二次型及其矩阵、线性替换、线性替换的退化、非退化，矩阵合同的概念。掌握二次型标准形的概念。熟练的运用配方法和合同变换法化二次型为标准形。深刻理解规范形的概念：掌握正、负惯性指数，符号差的概念：掌握将复二次型和实二次型化成规范形的方法。掌握正定、半正定、负定、半负定和不定二次型的概念：熟练掌握正定二次型和正定矩阵的判定法。2.主要内容（1）第一节二次型及其矩阵表示（2学时）教学重点：二次型及二次型矩阵表示。教学难点：非退化线性替换前后二次型矩阵的关系。（2）第二节标准型（3学时）教学重点：二次型的标准形、求标准形的方法
（二）课堂讨论 对本课程中的重要内容，布置课外学习任务，通过查阅文献，了解相应的知识和处 理问题的方法，并在课堂中交流讨论，一般进行 2 次左右。 （三）课后作业 布置课后习题作业，以巩固课堂学习内容，全部批改并对反馈的问题进行讲评或让 学生对作业进行思路讲解、讨论。布置课后自主学习作业，对已学习的内容梳理总结、 反思，理解抽象代数与中学数学的内涵联系。 六、教学内容及学时分配 （一）教学内容与学时分配 各章教学内容与学时分配表 章次 内容 总课时 理论课时 实践课时 五 二次型 16 13 3 六 线性空间 26 22 4 七 线性变换 26 22 4 九 欧式空间 22 18 4 （二）教学内容纲要 第五章 二次型（16 学时） 1．教学目的与要求 掌握二次型及其矩阵、线性替换、线性替换的退化、非退化，矩阵合同的概念。 掌握二次型标准形的概念。熟练的运用配方法和合同变换法化二次型为标准形。 深刻理解规范形的概念；掌握正、负惯性指数，符号差的概念；掌握将复二次型和 实二次型化成规范形的方法。掌握正定、半正定、负定、半负定和不定二次型的概念； 熟练掌握正定二次型和正定矩阵的判定法。 2．主要内容 （1）第一节 二次型及其矩阵表示（2 学时） 教学重点：二次型及二次型矩阵表示。 教学难点：非退化线性替换前后二次型矩阵的关系。 （2）第二节 标准型（3 学时） 教学重点：二次型的标准形、求标准形的方法
教学难点：化二次型为标准形（3）第三节唯一性（3学时）教学重点：二次型的秩、复二次型的规范形、实二次型的规范形教学难点：复数域与实数域上化二次型为规范形及其规范形的唯一性。（4）第四节正定二次型（5学时）教学重点：正定二次型的性质、正定二次型和正定矩阵的判别、二次型的分类。教学难点：正定二次型和正定矩阵的判别。3.主要实践内容（3学时)（1）第三节化复（实）二次型为标准型和规范型（练习）（2学时）（2）习题课二次曲线的分类（练习）（1学时）第六章线性空间（26学时）1.教学目的与要求掌握集合、映射、1-1对应及相关的概念。掌握集合运算、映射运算的符号和性质。深刻理解线性空间的定义，熟记线性空间的简单性质。深刻理解线性空间中向量的线性组合、线性表示、向量组的等价，线性相关、线性无关、维数、基与坐标的概念；掌握向量组构成基的条件，会求向量在给定基下的坐标，会求线性空间的基和维数。掌握基变换与坐标变换的概念：熟练掌握基变换与坐标变换的运算。熟悉子空间、生成子空间的概念。深刻理解子空间及其生成同量组之间的关系：子空间的基与整个空间的基的关系；掌握子空间的交与和的概念；掌握维数定理。掌握直和的概念，深刻理解直和的充要条件。深刻理解同构的概念，并掌握线性空间同构的充要条件。2.主要内容（1）第一节集合、映射（2学时）教学重点：集合、映射的概念。教学难点：映射性质的判定。（2）第二节线性空间的定义与简单性质（2学时）教学重点：线性空间的概念、性质。教学难点：线性空间的定义及判别。（3）第三节维数、基与坐标（3学时）教学重点：维数、基与坐标的概念
教学难点：化二次型为标准形 （3）第三节 唯一性（3 学时） 教学重点：二次型的秩、复二次型的规范形、实二次型的规范形。 教学难点：复数域与实数域上化二次型为规范形及其规范形的唯一性。 （4）第四节 正定二次型（5 学时） 教学重点： 正定二次型的性质、正定二次型和正定矩阵的判别、二次型的分类。 教学难点：正定二次型和正定矩阵的判别。 3. 主要实践内容（3 学时） （1）第三节 化复（实）二次型为标准型和规范型（练习）（2 学时） （2）习题课 二次曲线的分类（练习）（1 学时） 第六章 线性空间（26 学时） 1．教学目的与要求 掌握集合、映射、1-1 对应及相关的概念。掌握集合运算、映射运算的符号和性质。 深刻理解线性空间的定义，熟记线性空间的简单性质。深刻理解线性空间中向量的 线性组合、线性表示、向量组的等价，线性相关、线性无关、维数、基与坐标的概念； 掌握向量组构成基的条件，会求向量在给定基下的坐标，会求线性空间的基和维数。掌 握基变换与坐标变换的概念；熟练掌握基变换与坐标变换的运算。熟悉子空间、生成子 空间的概念。深刻理解子空间及其生成向量组之间的关系；子空间的基与整个空间的基 的关系；掌握子空间的交与和的概念；掌握维数定理。掌握直和的概念，深刻理解直和 的充要条件。深刻理解同构的概念，并掌握线性空间同构的充要条件。 2．主要内容 （1）第一节 集合、映射（2 学时） 教学重点：集合、映射的概念。 教学难点：映射性质的判定。 （2）第二节 线性空间的定义与简单性质（2 学时） 教学重点：线性空间的概念、性质。 教学难点：线性空间的定义及判别。 （3）第三节 维数、基与坐标（3 学时） 教学重点：维数、基与坐标的概念
教学难点：线性空间基底和维数的求法、向量在给定基下的坐标求法。（4）第四节基变换与坐标变换（2学时）教学重点：基变换与坐标变换的公式。教学难点：过渡矩阵的定义和求法。（5）第五节线性子空间（4学时）教学重点：线性子空间的概念、子空间与线性空间的关系、生成子空间。教学难点：线性子空间的判定。（6）第六节子空间的交与和（4学时）教学重点：子空间的交与和的概念与求法、维数定理。教学难点：子空间的交与和的求法与证明，（7）第七节子空间的直和（3学时）教学重点：子空间的直和的概念和等价条件。教学难点：子空间的直和的证明。（8）第八节线性空间的同构（2学时）教学重点：线性空间同构的概念。教学难点：线性空间同构的证明。3.主要实践内容（4学时）（1）第三、四节基底、坐标、基坐标和基变换（练习）（2学时）（2）第五六七节子空间、子空间的和与直和（练习）（2学时）第七章线性变换（26学时）1.教学目的与要求掌握线性变换的概念。熟练掌握线性变换的运算及其性质。熟练掌握线性变换与其矩阵的关系、线性变换及其运算的矩阵表示，会求线性变换在给定基下的矩阵；熟练掌握同一个线性变换在不同基下矩阵之间的关系。熟练掌握特征多项式、特征值、特征向量的概念以及特征值、特征向量的求法。熟练掌握相似矩阵特征多项式的关系：一般了解哈密尔顿一凯莱定理的条件和结论。深刻理解特征向量的性质和线性变换在某组基下矩阵为对角矩阵的充分条件及充要条件。掌握线性变换的值域与核的概念，以及它们维数间的关系。掌握不变子空间的概念，深刻理解线性空间分解成不变子空间直和的充要条件
教学难点：线性空间基底和维数的求法、向量在给定基下的坐标求法。 （4）第四节 基变换与坐标变换（2 学时） 教学重点：基变换与坐标变换的公式。 教学难点：过渡矩阵的定义和求法。 （5）第五节 线性子空间（4 学时） 教学重点：线性子空间的概念、子空间与线性空间的关系、生成子空间。 教学难点：线性子空间的判定。 （6）第六节 子空间的交与和（4 学时） 教学重点：子空间的交与和的概念与求法、维数定理。 教学难点：子空间的交与和的求法与证明。 （7）第七节 子空间的直和 （3 学时） 教学重点：子空间的直和的概念和等价条件。 教学难点：子空间的直和的证明。 （8）第八节 线性空间的同构（2 学时） 教学重点：线性空间同构的概念。 教学难点：线性空间同构的证明。 3.主要实践内容（4 学时） （1）第三、四节 基底、坐标、基坐标和基变换（练习）（2 学时） （2）第五六七节 子空间、子空间的和与直和（练习）（2 学时） 第七章 线性变换（26 学时） 1．教学目的与要求 掌握线性变换的概念。熟练掌握线性变换的运算及其性质。熟练掌握线性变换与其 矩阵的关系、线性变换及其运算的矩阵表示，会求线性变换在给定基下的矩阵；熟练掌 握同一个线性变换在不同基下矩阵之间的关系。熟练掌握特征多项式、特征值、特征向 量的概念以及特征值、特征向量的求法。熟练掌握相似矩阵特征多项式的关系；一般了 解哈密尔顿-凯莱定理的条件和结论。深刻理解特征向量的性质和线性变换在某组基下 矩阵为对角矩阵的充分条件及充要条件。掌握线性变换的值域与核的概念，以及它们维 数间的关系。掌握不变子空间的概念，深刻理解线性空间分解成不变子空间直和的充要 条件