由于αi,α2,an是规范正交基，我们有<5,a.)=(xa+x2a2+...+xnan,a,)=x这就是说，向量关于一个规范正交基的第个坐标等于与第个基向量的内积。其次，令1=yia+y2a2+..+ynan那么，(5,n)=xyi+x2y2+...+xnyn5>=++.+d(5,n)==-n=(x-)+(x2-y)+..+(x-yn)
由于{α1, α2, ⋯, αn}是规范正交基，我们有 这就是说,向量ξ关于一个规范正交基的第i个坐标等于ξ与第i个 基向量的内积. 〈ξ , αi 〉=〈 x1α1+x2α2+ ⋯ +xnαn , αi 〉=xi 其次,令 η=y1α1+y2α2+⋯+ynαn 〈ξ , η〉=x1y1+x2y2+ ⋯ +xn yn 那么 , 22 2 1 2 || , n ξ ξξ = < >= + + + xx x 22 2 11 2 2 (,) | | ( ) ( ) ( ) n n d ξη ξ η =−= − + − ++ − xy xy xy
2.规范正交基的性质设α，α是V的一个基，但不一定是正交基.希望从这个基出发，得出V的一个规范正交基β.将和β再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交基先取β=a，为了求出β，考虑线性组合α,+aα，从这里决定实数a使a+aa与正交β.由0=a2+aβ1,β)=(a2,β)+aβ1,β1)<α2,β,>及β0得a=-<β,β,>
2．规范正交基的性质 设{α1, α2}是V2的一个基,但不一定是正交基.希望从这个基 出发,得出V2的一个规范正交基{β1, β2}.将β1和 β2再分别除以它 们的长度，就得到一个规范正交基. 先取β1=α1,为了求出β2，考虑线性组合α2+aα1，从这里决定 实数a,使α2+aα1与正交β1.由 0= 〈α2+aβ1,β1〉= 〈α2,β1〉+a〈β1,β1〉 及β1≠0得 2 1 1 1 , , a < > = − < > α β β β