S3、对弧长的曲线积分的性质性质 1°设α、β为常数，则[,[gf(x, y) + βg(x, )lds =α J, f(x, y)ds + βJ, g(x, y)ds推论(1) [,f(x,y)+ g(x,y)lds =J, f(x,y)ds + [, g(x,y)ds:(2) , of(x, y)ds = αJ, f(x, y)ds.性质 2°若积分弧段L可分为两段光滑曲线弧L,和L，，则[, f(x,y)ds = J, (x,y)ds + J, f(x,y)ds性质 3° 设在 L 上f(x,y)≤g(x,y)，则J, f(x,y)ds ≤ J, g(x, y)ds.推论(l) f(x,y)≥0= [, f(x,y)ds≥0.(2) 1I, f(x, y)ds≤J,1f(x,y)/ ds.[,ds =（L 的长度）性质 4°0008个不高等教学教学部不不不
高等数学教学部 6 L [f (x, y) g(x, y)]ds L f (x, y)ds ( , ) . L g x y ds L f (x, y)ds 1 ( , ) L f x y ds ( , ) . 2 L f x y ds L f (x, y)ds ( , ) . L g x y ds (1) ( , ) 0 ( , ) 0. L f x y f x y ds L ds (2) | ( , ) | | ( , )| . L L f x y ds f x y ds
4、对称定理对称定理 1设积分弧段L 关于x轴对称，而以x轴将L分割后其中的一段记为L，则J (x,)as-[2, (,)ds(x-)=(,)0f(x,-y) =-f(x,y)对称定理 1'设积分弧段L关于轴对称，而以y轴将L分割后其中的一段记为L，则J, (x,y)ds= 2], (x,y)dsf(-x,y)= f(x,y)0f(-x,y)=-f(x,y)对称定理 2设积分弧段L 关于直线 y=x 对称，而以直线 v=x 将 L 分割后其中的一段记为L,，则(1) J,(x,y)ds=[2], (x,)dssf(x,y)= f(y,x)0f(x,y)=-f(y,x)(2) J, f(x,y)ds =, f(y,x)ds, J,g(x)ds = J, g(y)ds.不不不高尊数学教学部不不不000
高等数学教学部 7 . 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 f x y f x y f x y ds f x y f x y f x y ds L L . 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 f x y f x y f x y ds f x y f x y f x y ds L L ; 0 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) (1) ( , ) 1 f x y f y x f x y ds f x y f y x f x y ds L L (2) ( , ) ( , ) , ( ) ( ) . L L L L f x y ds f y x ds g x ds g y ds