第九节 周期为2的周期函数的傅时叶级数
第九节 周期为 2l 的周期函数的傅时叶级数
、以2为周期的傅氏级数 T=21,0=7=代入傅氏级数中 cosTon tb sin nox 定理设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 C(x)=0+2(an cos nux nTuC fO 2 tb n=1
一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l = = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n + n + = 代入傅氏级数中
其中系数an,b为 x)cos =0 b (n=1,2,) (1)如果f(x)为奇函数则有 nTur b sin 2 其中系数b为b nu f( sin d,(n=1,2
其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, )
(2)如果(x)为偶函数,则有 f(x) COS 其中系数a为a 2 nOr f(x)cos dx (n=0,1,2 证明令z=,-1≤x≤1→-元≤z≤元 设f(x)=f()=F(z)F(z)以2π为周期 F(x)= do+2(a, cos nz+b, sin nz 2
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中an F(z)cos nzdz, T=兀 F(sin nzdz T T = f(x) 2 +∑ cos x+b, sinx) n=1 其中an=,f(x)cos n70 xdx, nTC f(r)sin xdx
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =