第十章 微分方程
第十章 微分方程
、问题的提出 一例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) 其中x=1时,y=2 y=2xtc即y=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动t秒钟后列车才能仃住,在此期间列车又行驶了 s=s(t)米,因此有 ds 0.t+C1 dt 3=-0.2+C1t+C2 t=0时,s=0.p= 20
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C 设制动t秒钟后列车才能仃住，在此期间列车又行驶了 s=s(t)米, 因此有：
代入条件后知C1=20,C2=0 ds 0.4t+20 dt 故s=-022+20,由v=0可知, 开始制动到列车完全停住共需t= 20 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了 s=-0.2×502+20×50=500米)
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需 由v=0可知
二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程 叫微分方程 例y'=xy,y"+2y-3y=e, x)dt+、A=0,O =x+y, 联系自变量,未知函数以及 未知函数的导数(或微分)之间的关系式 分类1:常微分方程,偏微分方程
微分方程: 凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程 叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 因此微分方程是联系自变量,未知函数以及 未知函数的导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 分类1: 常微分方程, 偏微分方程