§4对称矩阵的对角化
§4 对称矩阵的对角化
定理：设1,2，九m是方阵A的特征值，p1,P2,Pm依 次是与之对应的特征向量，如果21,2，几m各不相同，则 P1,P2,Pm线性无关.（P.120定理2) 定理：设21和几2是对称阵A的特征值，p1,P2是对应的特 征向量，如果1卡2，则p1,P2正交.（P.124定理6) 证明：Ap1=1P1,AP2=九2P2,元1≠九2 九1p1T= 1p1p2=. (21-2)p1TP2=0 因为1卡2，则p1Tp2=0,即
定理：设 l1 , l2 , ., l m 是方阵 A 的特征值， p1 , p2 , ., pm 依 次是与之对应的特征向量，如果 l1 , l2 , ., l m 各不相同，则 p1 , p2 , ., pm 线性无关．（P.120定理2） 定理：设 l1 和 l2 是对称阵 A 的特征值， p1 , p2 是对应的特 征向量，如果 l1 ≠ l2 ，则 p1 , p2 正交．（P.124定理6） 证明： A p1= l1 p1， A p2= l2 p2 ， l1 ≠ l2 l1 p1 T = (l1 p1 ) T = (A p1 ) T = p1 T AT = p1 T A （A 是对称阵） l1 p1 T p2 = p1 T A p2 = p1 T (l2 p2 ) = l2 p1 T p2 (l1 − l2 ) p1 T p2 = 0 因为l1 ≠ l2 ，则 p1 T p2 = 0，即 p1 , p2 正交．