哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律和中心极限定理（5.2）中心极限定理

概率论 注1、定理表明,独立同分布的随机变量之和∑Xk, =1 当n充分大时,随机变量之和与其标准化变量分别有 近似地 ∑X ∑Xk~N(n,nG2); 可k-1近似地 N(0,1 =1 2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为 近似地 X~N(y1,02mn)或 X-近似地 N(0,1) 其中X=∑Xk n k=l 3、虽然在一般情况下,我们很难求出∑Xk的分 k=1 布的确切形式,但当n很大时,可以求出近似分布

概率论 注 ~ ( , ) ; ~ (0,1). 1 , 2 1 1 1 N n X n X N n n n X n k n k k k n k k 近似地 近似地 当 充分大时，随机变量之和与其标准化变量分别有 、定理表明，独立同分布的随机变量之和      −   = = = ~ ( , ) ~ (0,1) 2 2 N n X X N n 近似地 近似地 或 、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为     − =  = n k Xk n X 1 1 其中 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分 布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布.  = n k Xk 1

←概率论 定理2(李雅普诺夫( Liapounov)定理) 设随机变量X1,X2,…,Xn…相互独立,它们具 有数学期望和方差: E(XK=uk, D(X=Ok, (K=1, 2, .) 记 Bn=∑ok k=1 若存在正数δ,使得当n→∞时, 2+6 2+6∑E1Xk- 0 则随机变量之和∑X的标准化变量: k=1

概率论 定理2（李雅普诺夫(Liapounov)定理) ( ) , ( ) ,( 1,2, ) , , , 2 1 2    E X = D X = k = X X X k k k k n   有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立，它们具 =  = n k Bn k 1 2 2 记    − → →  = + + n k k k n E X B n 1 2 2 0 1    若存在正数，使得当 时， 则随机变量之和 的标准化变量： = n k Xk 1

←概率论 ∑Xk-E(∑X)∑Xk-∑k k=1 B D(∑X) 的分布函数Fn(x)对于任意x,满足 iF(x)=imPk-∑ k k=1 n→0 n→0 B dt=Φ(x) 2兀

概率论 n n k k n k k n k k n k k n k k n B X D X X E X Z  −  =   −  = = = = = = 1 1 1 1 1 ( ) ( )  的分布函数Fn (x)对于任意x，满足             −  = = = → → x B X F x P n n k n k k k n n n 1 1 lim ( ) lim  =   x - -t 2 e dt 2 1 2  = (x)

←概率论 请注意 1、定理中随机变量之和∑X及其标准化变量 zn在m很大时,分别近似服从 近似地 近似地 ∑X k N(∑k,Bn);Zn~N(0,1) k=1 2、随机变量X无论服从什么分布,只要满足 定理条件,随即变量之和∑X,当n很大时,就近 =1 似服从正态分布,这就是为什么正态分布在概率论 中所占的重要地位的一个基本原因

概率论 请注意 : 在 很大时 分别近似服从 、定理中随机变量之和 及其标准化变量 , 1 1 Z n X n nk k = ~ ( , ) ; ~ (0,1) 2 1 1 X N Bn Zn N nk k nk k 近似地 近似地   = =  . 2 1 中所占的重要地位的一个基本原因 似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论 定理条件，随即变量之和 ，当 很大时，就近 、随机变量 无论服从什么分布，只要满足 X n X nk k k =

←概率论 定理6(棣莫佛一拉普拉斯( De laplace定理) 设随机变量mnn=1,2,……)服从参数np(0~<1) 的二项分布,则对任意x,有 7n-1p lim Pim ≤x}= e2at=Φ(x) 1→00 (-p) 2兀 证由第四章知识知可将m分解成为n个相互独立 服从同一(0-1)分布的诸随机变量X1,X2…Xn之和, 即有 7n=∑Xk 其中X(k=1,2,…,n)的分布律为 PXk=}=p(1-p),i=0c②

概率论 定理6(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理） } (1 ) lim { x np p np P n n  − − →  设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1) 的二项分布，则对任意x，有 n e dt x t − − = 2 2 2 1  = (x) 证 服从同一 分布的诸随机变量 之和， 由第四章知识知可将 分解成为 个相互独立、 n n X X X n (0 − 1) 1 , 2 ,  =  = n k n Xk 1 即有    (1 ) , 0,1 ( 1,2, , ) 1 = = − = = − P X i p p i X k n i i k 其中 k  的分布律为