←概率论 第一节大数定律 大数定律 依概率收敛定义及性质 小结
概率论 第一节 大数定律 大数定律 依概率收敛定义及性质 小结
←概率论 大数定律的客观背景 大量随机试验中 事件发生的频率稳定于某一常数 测量值的算术平均值具有稳定性 大量抛掷硬币 生产过程中的字母使用频率 正面出现频率 废品率 ●●●●●
概率论 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 字母使用频率 废品率 …… 测量值的算术平均值具有稳定性 事件发生的频率稳定于某一常数
←概率论 大数定律 定理1(切比雪夫定理的特殊情况)↓ˉr 设随机变量X1,X2…,Xn,…相互 独立,且具有相同的数学期望和方差:■ E(X)=山,D(X)=a(k=1,2,…) 切比雪夫 做前n个随机变量的算术平均x=∑Xk k=l 则对任意的>0,有 lim Pix-uke lmP{∑X;-kE}=1 i=1
概率论 一、大数定律 定理1（切比雪夫定理的特殊情况） 切比雪夫 则对任意的ε>0，有 独立，且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量X1 , X2，，Xn ,相互 2 ( ) , ( ) ( , , ). 1 2 E X D X k k k = = = | } 1 1 lim {| 1 = − = → = n i i n X n P lim {| − | } → P X n 1 1 X n n k k X = 做前 n 个随机变量的算术平均 =
←概率论 证由于 E∑Xk ∑E(Xk)=-.n=p nk=1 nk=l n D-∑X n ∑D(Xk) nk=1 n n 由切比雪夫不等式 P∑X-以<E}=1-02m n k= 上式中令n→00得 limP{∑X-kE}=1
概率论 证 = = n k Xk n E 1 1 由于 = n = n 1 = n k E Xk n 1 ( ) 1 = n k Xk n D 1 1 = = n k D Xk n 1 2 ( ) 1 n n n 2 2 2 1 = = 由切比雪夫不等式 2 2 1 1 1 n X n P n k k − − = 上式中令 n → 得 | } 1 1 lim {| 1 − = → = n i i n X n P
←概率论 说明 1、定理中{ΣX;-μk}是指一个随机事件 mi=l 当n→>∞时,这个事件的概率趋于1 2定理以数学形式证明了随机变量X1,…Xn 的算术平均X=∑X接近数学期望E(X)= ni=l (=1,2…,n),这种接近说明其具有的稳定性 这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率 收敛的意义下逼近某一常数
概率论 说明1,2 , . E X 1 X 2 , 1 1 （ ），这种接近说明其具有的稳定性 的算术平均 接近数学期望 （ ） 、定理以数学形式证明了随机变量 k n X n X X k ni i n = = = = 1. | } 1 1 {| 1 当 时，这个事件的概率趋于 、定理中 是指一个随机事件， → − = n X n ni i 收敛的意义下逼近某一常数. 这种稳定性的含义说明算术平均值是依概率