(1)解：函数fx)=xlnx-x的定义域为(0，十oo) 导航 当a=1时，fx)=xnx+x,f'x)=lnx+2. 令f0,得是 当x∈(0,3)时f0e0:当时fx)>0 所以x)在区间(0，)内单调递减， 在区间（位，+∞）内单调递增 因此)在x是处取得最小值， 即e)mif式位)一是，但九)在区间0，+o)内无最大值
导航 (1)解:函数f(x)=xln x-ax的定义域为(0,+∞). 当a=-1时,f(x)=xln x+x,f'(x)=ln x+2. 令 f'(x)=0,得 x= 𝟏𝐞𝟐. 当 x∈ 𝟎, 𝟏𝐞𝟐 时,f'(x)<0; 当 x> 𝟏𝐞𝟐 时,f'(x)> 0. 所以 f(x)在区间 𝟎, 𝟏𝐞𝟐 内单调递减, 在区间 𝟏𝐞𝟐 , + ∞ 内单调递增. 因此 f(x)在 x= 𝟏𝐞𝟐 处取得最小值, 即 f(x)min=f 𝟏𝐞𝟐 =- 𝟏𝐞𝟐,但 f(x)在区间(0, + ∞)内无最大值
2证明：当0时，血+1。忌，等价于mx+le点- 导期 e2x e2 由（山知a=-1时fx)与ln的最小值是是， 当且仅当己时取等号 设Ge-忌x∈@，+o 则G)塔易知Ga-GI= 当且仅当=1时取等号， 从而可知，对一切x∈(0，十o),都有fx)>G(), 即nx+1>1- 2 ext1 e2x
导航 (2)证明:当 x>0 时,ln x+1> 𝟏 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 𝒙 等价于 x(ln x+1)> 𝒙 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 . 由(1)知 a=-1 时,f(x)=xln x+x 的最小值是- 𝟏 𝐞 𝟐 , 当且仅当 x= 𝟏 𝐞 𝟐 时取等号. 设 G(x)= 𝒙 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 ,x∈(0,+∞), 则 G'(x)= 𝟏-𝒙 𝐞 𝒙+𝟏 ,易知 G(x)max=G(1)=- 𝟏 𝐞 𝟐 , 当且仅当 x=1 时取等号, 从而可知,对一切 x∈(0,+∞),都有 f(x)>G(x), 即 ln x+1> 𝟏 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 𝒙
导航 解题技巧在证明过程中，等价转化是关键，此处 fx)min>gc)max恒成立，从而fx)>ge,但此处fx)与ge)取到最 值的条件不是同一个“x的值
导航 解题技巧 在证明过程中,等价转化是关键,此处 f(x)min>g(x)max恒成立,从而f(x)>g(x),但此处f(x)与g(x)取到最 值的条件不是同一个“x的值”
导航 跟踪训练2已知x)=x3+3x-1gx)=xnx+(a≥1)， )求fx)的极值； (2)求证：对任意x12∈(0，+o),都有fx1)≤g2), (1)解：依题意，得fx)=-3x2+3=-3化+1)c-1), 则fx)在区间(-∞，-1)和区间(1，+o)内单调递减， 在区间(-1,1)内单调递增， 所以x)极小值f1)=-3,)极大值1)=1
导航 跟踪训练2已知f(x)=-x 3+3x-1,g(x)=xln x+ (a≥1). (1)求f(x)的极值; (2)求证:对任意x1 ,x2∈(0,+∞),都有f(x1 )≤g(x2 ). (1)解:依题意,得f'(x)=-3x 2+3=-3(x+1)·(x-1), 则f(x)在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)内单调递减, 在区间(-1,1)内单调递增, 所以f(x)极小值=f(-1)=-3,f(x)极大值=f(1)=1. 𝒂 𝒙
(2)证明：由(1)知，当x>0时，)最大值=1， 导航 由a≥1知，ge)≥xnx+c>0), 令h6e)=lnx+>0), 则hnc1nx 注意到h'(1)=0,当x>1时，h'x)>0; 当0<<1时，h'x)<0,即(c)在区间(0,1)内单调递减，在区间 (1,+o)内单调递增，所以h(心)最小值=h(1)=1,即g(d)最小值=1. 综上可知，对任意x1,2∈(0，+o),都有fc1)≤gc2以：
导航 (2)证明:由(1)知,当x>0时,f(x)最大值=1, 由 a≥1 知,g(x)≥xln x+𝟏 𝒙 (x>0), 令 h(x)=xln x+𝟏 𝒙 (x>0), 则 h'(x)=ln x+1- 𝟏 𝒙 𝟐 =ln x+𝒙 𝟐 -𝟏 𝒙 𝟐 , 注意到h'(1)=0,当x>1时,h'(x)>0; 当0<x<1时,h'(x)<0,即h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间 (1,+∞)内单调递增,所以h(x)最小值=h(1)=1,即g(x)最小值=1. 综上可知,对任意x1 ,x2∈(0,+∞),都有f(x1 )≤g(x2 )