全程设计 微专题二 导数的综合应用
微专题二 导数的综合应用
导航 导数在不等式中的应用 命题角度1.构造函数证明不等式 【典型例题1】已知函数fx)=e*+x2-x (1)当=1时，讨论fx)的单调性； (2)当x≥0时，fx)≥x3+1,求a的取值范围。 解：(1)当=1时fx)=e+x2-x,fx)=e*+2x-1. 故当x∈(-oo,0)时，fx)<0;当x∈(0，+o)时f'x)>0. 所以f)在区间(0,0)内单调递减，在区间(0，+o∞)内单调递增
导航 一 导数在不等式中的应用 命题角度1.构造函数证明不等式 【典型例题1】已知函数f(x)=e x+ax2 -x. (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0时,f(x)≥ x 3+1,求a的取值范围. 𝟏 𝟐 解:(1)当a=1时,f(x)=e x+x2 -x,f'(x)=e x+2x-1. 故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0. 所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增
导 2y)≥23+1等价于(G侵x3-ax2+x+1)e≤1 设函数gw台x3-ar2+x+1e*(c≥0， 则g)-(（侵x3-ax2+x+1-2x2+2ax-1)e =2xcr2-(2a+3)x+4a+2]e=zx(c-2a-l)x-2)e ①若2+1≤0，即u≤，则当x∈(0,2)时，g'e)>0. 所以gx)在区间(0,2)内单调递增，而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时gK)>1,不合题意
导航 (2)f(x)≥ 𝟏 𝟐 x 3 +1 等价于 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 − 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e -x ≤1. 设函数 g(x)= 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 -𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 e -x (x≥0), 则 g'(x)=- 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 − 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏 − 𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒂𝒙 − 𝟏 e -x =- 𝟏 𝟐 x[x 2 -(2a+3)x+4a+2]e-x =- 𝟏 𝟐 x(x-2a-1)(x-2)e-x . ①若 2a+1≤0,即 a≤- 𝟏 𝟐 ,则当 x∈(0,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在区间(0,2)内单调递增,而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意
②若02a+1<2,即分 导航 则当x∈(0,2+1)U(2,+o)时，g'()<0; 当x∈(2a+1,2)时，g'x)>0. 所以g()在区间(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减，在区间(2a+1,2) 内单调递增 由于g(0)=1,所以gx)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)e2≤1， 即a≥7-e2 所以当7e≤时g≤1
导航 ②若 0<2a+1<2,即- 𝟏 𝟐 <a< 𝟏 𝟐 , 则当x∈(0,2a+1)∪(2,+∞)时,g'(x)<0; 当x∈(2a+1,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在区间(0,2a+1),(2,+∞)内单调递减,在区间(2a+1,2) 内单调递增. 由于g(0)=1,所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7-4a)·e-2≤1, 即 a≥ 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 . 所以当𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 ≤a< 𝟏 𝟐 时,g(x)≤1
导航 ®若2+1≥2，即a≥2则gx)≤(2x3+x+1小e 由于0∈[华》故由@可得Gx3+x+1)e≤1 故当a≥，时ge)≤1. 综上，a的取值范周是7g,+0）}
导航 ③若 2a+1≥2,即 a≥ 𝟏 𝟐 ,则 g(x)≤ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝒙 + 𝟏 ·e -x . 由于 0∈ 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 , 𝟏 𝟐 ,故由②可得 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 + 𝒙 + 𝟏 e -x ≤1. 故当 a≥ 𝟏 𝟐 时,g(x)≤1. 综上,a 的取值范围是 𝟕-𝐞 𝟐 𝟒 , + ∞