导航 解题技巧 利用导数法证明不等式的思路 (1)若要证明fx)>a成立，只需证明fx)mim>a即可. (2)若要证明fx)>gx)在区间D上成立，基本方法是构造函数 hc)=fx)gc),然后根据函数hc)的单调性证明x)mim>0
导航 解题技巧 利用导数法证明不等式的思路 (1)若要证明f(x)>a成立,只需证明f(x)min>a即可. (2)若要证明f(x)>g(x)在区间D上成立,基本方法是构造函数 h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性证明h(x)min>0
导航 跟踪训练I已知函数心十年 的图象在点(-1，f孔-1)处的切 线方程为x+y+3=0. (1)求函数fx)的解析式； (2)设g(x)=lnx,求证：gx)≥fx)在区间[1，+o)内恒成立
导航 跟踪训练1已知函数f(x)= 的图象在点(-1,f(-1))处的切 线方程为x+y+3=0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立. 𝒂𝒙 + 𝒃 𝒙 𝟐 + 𝟏
导航 (1)解：将x=1代入切线方程得y=-2, 所以I)解-2，化简得6一4① f)ata2 (x2+1)2 f1)2a+h0-1.② 4 联立①②，解得=2，b=-2.所以w)2+1 2X-2
导航 (1)解:将 x=-1 代入切线方程得 y=-2, 所以 f(-1)= 𝒃-𝒂 𝟏+𝟏 =-2,化简得 b-a=-4.① f'(x)= 𝒂(𝒙 𝟐 +𝟏)-(𝒂𝒙+𝒃)·𝟐𝒙 (𝒙 𝟐 +𝟏) 𝟐 , f'(-1)= 𝟐𝒂+𝟐(𝒃-𝒂) 𝟒 =-1.② 联立①②,解得 a=2,b=-2.所以 f(x)= 𝟐𝒙-𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏
(2)证明：由题意知，要证1nx≥x2在区间I1,+0)内恒成立， x2+1 即证明x2lnx+lnx-2x+2≥0在区间[1，+oo)内恒成立. (x)=x2Inx+In x-2x+2, 则h'e)-2xlnx+x+2-2, 2 1 因为x≥1，所以2xnx≥0，x+≥2x:x=2(当且仅当x=1时等 号成立)，所以h'x)≥0，所以x)在区间[1，+o∞)内单调递增，所以 (x)≥h(1)=0,所以g(c)≥x)在区间[1，+o)内恒成立
导航 (2)证明:由题意知,要证 ln x≥ 𝟐𝒙-𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏 在区间[1,+∞)内恒成立, 即证明x 2 ln x+ln x-2x+2≥0在区间[1,+∞)内恒成立. 设h(x)=x2 ln x+ln x-2x+2, 则h'(x)=2xln x+x+ -2, 因为x≥1,所以2xln x≥0,x+ ≥2 =2(当且仅当x=1时等 号成立),所以h'(x)≥0,所以h(x)在区间[1,+∞)内单调递增,所以 h(x)≥h(1)=0,所以g(x)≥f(x)在区间[1,+∞)内恒成立. 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙· 𝟏 𝒙
导航 命题角度2.利用“若fx)min>g)max,则fx)>g)”证明不等式 【典型例题2】已知函数fx)=xlnx-x. (1)当=-1时，求函数fx)在区间(0，+∞)内的最值； 2证明：对一切∈(0，+o,都有1nx+1e-忌成立 2
导航 命题角度2.利用“若f(x)min>g(x)max,则f(x)>g(x)”证明不等式 【典型例题2】已知函数f(x)=xln x-ax. (1)当a=-1时,求函数f(x)在区间(0,+∞)内的最值; (2)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x+1> 𝟏 𝐞 𝒙+𝟏 − 𝟐 𝐞 𝟐 𝒙 成立