导航 命题角度3.已知不等式恒成立求参数 【典型例题3】已知函数)s业(0， (山)判断函数)在区间(0，)内的单调性； (2)若fe)在区间（0，罗)内恒成立，求实数a的最小值
导航 命题角度3.已知不等式恒成立求参数 【典型例题 3】已知函数 f(x)= 𝐬𝐢𝐧𝒙 𝒙 (x≠0). (1)判断函数 f(x)在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内的单调性; (2)若 f(x)<a 在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内恒成立,求实数 a 的最小值
解(e)cogs0令g0=ein∈(0，》， x2 则ge)=-esin,显然，当x∈(0，时g'e=xsin<0, 即函数g)在区间(0，)内单调递减，且g0)0. 所以函数)在区间(0，)内单调递减
导航 解:(1)f'(x)= 𝒙𝐜𝐨𝐬𝒙-𝐬𝐢𝐧𝒙 𝒙 𝟐 (x≠0),令 g(x)=xcos x-sin x,x∈ 𝟎, 𝛑 𝟐 , 则 g'(x)=-xsin x,显然,当 x∈ 𝟎, 𝛑 𝟐 时,g'(x)=-xsin x<0, 即函数 g(x)在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内单调递减,且 g(0)=0. 从而 g(x)在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内恒小于零, 所以 f'(x)在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内恒小于零, 所以函数 f(x)在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内单调递减
导航 2)不等式，r∈(0，)恒成立， 即sinx-<0,x∈0(0，)恒成立. 令p(e)=sinx-mc,x(0,）,则p'x)=c0sx-a,且p0)0. 当≥1时，在区间(0，内，p'0,即函数px)单调递减， 所以p(c)<p(0)=O,故sinx-x<0恒成立
导航 (2)不等式 f(x)<a,x∈ 𝟎, 𝛑 𝟐 恒成立, 即 sin x-ax<0,x∈0 𝟎, 𝛑 𝟐 恒成立. 令 φ(x)=sin x-ax,x∈ 𝟎, 𝛑 𝟐 ,则 φ'(x)=cos x-a,且 φ(0)=0. 当 a≥1 时,在区间 𝟎, 𝛑 𝟐 内,φ'(x)<0,即函数 φ(x)单调递减, 所以 φ(x)<φ(0)=0,故 sin x-ax<0 恒成立