第一章 函数与极限 高等数学少学时 第七节品数的连续性 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质 北京邮电大学出版社
1 第七节 函数的连续性 一、函数连续性的概念 二、函数的间断点 三、连续函数的运算 四、闭区间上连续函数的性质
第一章函数与极限 高等数学少学时 一、函数连续性的概念 定义1设函数fx)在x的某一邻域内有定义，如果 imf(c)=f力 则称函数fx)在x连续， 例1设函数f)= xsin二，当x≠0， 问a为何值时，f(x)在 当x=0 x=0点连续. 解因为f0)=a且imf(x)=limxsin上=0，所以当=0时， r->0 函数f(x)在x=0点连续. 北京邮电大学出版社 2
2 一、函数连续性的概念 定义1 设函数f (x)在x0的某一邻域内有定义，如果 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = → 则称函数f (x)在x0连续. 例1 设函数 ( ) , , 0 , 0, 1 sin = = a x x x x f x 当 当 x=0点连续. 问a为何值时，f (x)在 解 因为f (0)=a,且 f (x) x 0 lim → 0, 1 lim sin 0 = = → x x x 所以当a=0时， 函数f (x)在x=0点连续
第一章 函数与极限 高等数学少学时 定义2如果imf(x)=f(x)则称函数fx)在点x,左连续； x→x 如果Iimf(x)=f(x),则称函数f)在点x右连续， →x 如果f(x)在(4，b)内每一点都连续则称(x)在(，b)内连续 如果(x)在(a,b)内连续且在α点右连续在b点左连续则称 f(x)在[a,b]上连续如果f(x)在定义域内连续则称f(x)为连 续函数连续函数的图形是一条连续不断的曲线. 由第五节我们知道，多项式、有理分式在其定义域内都是 连续函数. 北京邮电大学出版社
3 定义2 lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = 如 果 → − 则称函数f (x)在点x0左连续； lim ( ) ( ), 0 0 f x f x x x = 如 果 → + 则称函数f (x)在点x0右连续. 如果f (x)在(a,b)内每一点都连续,则称f (x)在(a,b)内连续. 如果f (x)在(a,b)内连续,且在a点右连续,在b 点左连续,则称 如果 f (x)在定义域内连续,则称f (x)为连 续函数.连续函数的图形是一条连续不断的曲线. f (x)在[a,b]上连续. 由第五节我们知道，多项式、有理分式在其定义域内都是 连续函数
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例2讨论函数f)=x在(-oo,+oo)内的连续性 -x,当x<0, 解f(x)={0,当x=0, 显然在(-0,0)和(0，+∞)内的连续.而 x, 当x>0 i()-im)=0-f(o)imf()im0f(0) 故mf(x)=fO以即fx)在x=0点的连续。 所以fx)=在(-o0,+o)内处处连续， 注f(x)在x点连续台f(x)在x点既左连续又右连续，即 lim f(x)=f()fx,)=f(x*)=f(x) x->xo 北京邮电大学出版社
4 例2 讨论函数f (x)=|x|在(-∞,+∞)内的连续性. 解 ( ) = − = , 0 0, 0, , 0, x x x x x f x 当 当 当 显然在(-∞,0)和(0，+∞)内的连续.而 lim ( ) lim ( ) 0 (0), 0 0 f x x f x x = − = = → − → − lim ( ) lim 0 (0), 0 0 f x x f x x = = = → + → + lim ( ) (0), 0 f x f x = 故 → 即f (x)在x=0点的连续. 所以f (x)=|x|在(-∞,+∞)内处处连续. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim f x f x f x f x f x x x = = = − + → 注 f (x)在x0点连续 f (x)在x0点既左连续又右连续，即
第一章 函数与极限 高等数学少学时 变量u从一个初值，变到终值2，则42一4，称为变量u的 增量，记作△w,即△U=W2一山1,2=41+△u. 对函数=f(x)来说，有 自变量的增量：Xo,△x,△x=X-Xo 函数的增量：Ay=f(x,+△x)-f(x) 定义3设y=f(x)在点x,的某一邻域内有定义如果 iAylinf(o+Ax)-f)]0, 则称函数y=f(x)在点x。连续 北京邮电大学出版社 5
5 变量u从一个初值u1 变到终值u2 ,则u2 − u1 称为变量u的 , u = u2 − u1 . 增量，记作Δu, 即 u2 = u1 + u 自变量的增量: 函数的增量: 0 0 x , x, x = x − x ( ) ( ) 0 x0 y = f x + x − f 对函数y = f (x)来说,有 ( ) . 则称函数 y = f x 在点x0 连续 ( ) , 设y = f x 在 点 x0 的某一邻域内有定义如 果 lim lim ( ) ( ) 0, 0 0 x 0 0 = + − = → → y f x x f x x 定义3