罗尔定理的几何意义：如果曲线段y=f(x)(xE[a,b])是连续不断的、光滑的，且两端纵坐标相等，则该曲线段在[a,b]上至少有一条水平切线y=f(x)B罗尔定理常用来做中值等式的证明bacX导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如G,f（）f（）=O.没有端点信息
如果曲线段 是连续不断的、光滑的， 且两端纵坐标相等，则该曲线段在 上至少有一条 水平切线. y f x x a b ( )( [ , ]) [ , ] a b 罗尔定理的几何意义： x y a b y f (x) O A B 罗尔定理常用来做中值等式的证明： 导函数和高阶导函数零点的存在性证明，形如 G f f ( , ( ), ( )) 0. 没有端点信息.
例1.证明方程x-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实根证：1）存在性设f(x)=x5-5x+1,则f(x)在[0，11连续，且f(O)=1,f(I)=-3.由零点定理知存在 xoE(0,1),使f(xo）=0，即方程有小于1的正根 xo·2)唯一性.假设另有xiE(O,1),xi≠xo,使f(x)=0,：f(x)在以Xo，Xi为端点的区间满足罗尔定理条件，：在xo，xi之间至少存在一点，使f()=0但 f(x)=5(x4-1)<0,xE(0,1),矛盾,故假设不真!
例1. 证明方程 ( ) 5 1, 5 f x x x ( ) 0, f x0 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 (0,1), x0 使 即方程有小于 1 的正根 2) 唯一性 . 假设另有 f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间 至少存在一点 但 矛盾, 故假设不真! 设