§4.2幂级数 1.幂级数的概念 幂级数，是指形如 ∑a,(2-2)》”=a+a,(2-2)++a(2-2)+… n=0 的表达式，它的一般项是幂函数an(z-zo)”,这里(n=0,1,) 和z是复常数，而z为复变数 给定的一个确定值z1,则∑a(2-)为复数项级数 n=0 ∑a,(31-20)”=a+a(3-20)+…+a,(31-o”+… n=0 若该复数项级数收敛，则称幂级数在z处收敛，z称为 幂级数的一个收敛点，否则则称为发散点
§4.2 幂级数 1. 幂级数的概念 幂级数，是指形如 的表达式，它的一般项是幂函数 ,这里 和z0是复常数，而z为复变数. 0 0 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n a z z a a z z a z z = − = + − + + − + 0 ( )n n a z z − ( 0,1, ) n a n = 给定z的一个确定值z1，则 0 为复数项级数 0 ( )n n n a z z = − 1 0 0 1 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n a z z a a z z a z z = − = + − + + − + 若该复数项级数收敛，则称幂级数在z1处收敛，z1称为 幂级数的一个收敛点，否则则称为发散点
若D为幂级数所有收敛点的集合，则级数在D上 的和确定一个函数(z): ∑a,2”=a+42+…+an2"+…. n=0 称s(z)为幂级数的和函数. 假定z=0,幂级数成为 ∑anz”=a+a2+…+an2"+… n=(
若D为幂级数所有收敛点的集合，则级数在D上 的和确定一个函数s(z): 称s(z)为幂级数的和函数. 0 1 0 . n n n n n a z a a z a z = = + + + + 假定z0=0,幂级数成为 0 1 0 . n n n n n a z a a z a z = = + + + +
定理4.5如果幂级数∑a”在z=2(≠0收敛，则对 于满足z<的z,级数必绝对收敛；如果在z=处 级数发散，则对于>2的z,级数必发散 证明：由于∑anz级数收敛，有lima,”=0, n>0 n=0 因而存在正数M,使对所有的n成立a,二”<M 如果：<l,那写91而kQ均 由于∑Mg是公比小于1的等比数列，故收敛 n=0 ∑an2”=lal+laz+…+a,z+…收敛 从而级数∑an2"绝对收敛 n=0
定理 4.5 如果幂级数 在 收敛，则对 于满足 的z，级数必绝对收敛；如果在 处 级数发散，则对于 的z，级数必发散. 0 n n n a z = 1 z z = ( 0) 1 z z 2 z z = 2 z z 证明：由于 级数收敛，有 0 n n n a z = 1 lim 0, n n n a z → = 因而存在正数M，使对所有的n成立 1 n a zn M 如果 ，那么 而 1 1, z q z z z1 = 1 1 . n n n n n n z a z a z Mq z = 由于 是公比小于1的等比数列，故收敛. 0 n n Mq = 0 1 0 n n n n n a z a z a a z = = + + + + 收敛 从而级数 绝对收敛. 0 n n n a z =
2.收敛半径和收敛圆 幂级数∑an”=a+az+…+an2”+….的收敛情况 n=0 (1)除=0外，级数处处发散； (2)对于所有级数都收敛，级数在复平面内处 处绝对收敛； (3)存在一个正实数R,使级数在z<R中收敛，在 z>R中发散 该正实数称为级数的收敛半径 以原点为中心，半径为的圆盘称 为级数的收敛圆对幂级数∑an(z-) 来说，它的收敛圆是以为中心的 圆盘
2.收敛半径和收敛圆 0 1 0 . n n n n n a z a a z a z = 幂级数 = + + + + 的收敛情况 （1）除z=0外，级数处处发散； （2）对于所有z级数都收敛，级数在复平面内处 处绝对收敛； （3）存在一个正实数R,使级数在|z|<R中收敛，在 |z|>R中发散 该正实数R称为级数的收敛半径， 以原点为中心，半径为R的圆盘称 为级数的收敛圆.对幂级数 来说，它的收敛圆是以z0为中心的 圆盘. 0 0 ( )n n n a z z = −
例4.2论幂级数∑z”=1+z+z2+…+z”+… n=0 的收敛范围与和函数， 解：级数的部分和为 1-z” (2)=1+z+23++z z=1. 于是 发散，z≥1. 该级数的收敛半径为1，收敛圆为z<1且级数 在圆周z=1上处处发散
例4.2 论幂级数 的收敛范围与和函数. 2 0 1 n n n z z z z = = + + + + + 解：级数的部分和为 2 1 1 , 1; ( ) 1 1 , 1. n n n z z s z z z z z n z − − = + + + + = − = 该级数的收敛半径为1，收敛圆为|z|<1且级数 在圆周|z|=1上处处发散. 于是 1 , 1; lim ( ) 1 发散, 1. n n z s z z z → = −