定理4.3复级数∑a,收敛的必要条件是lima=0. n=l n)∞ 证明：级数∑an收敛的充要条件是实级数∑α，和∑Bn均 n=1 收敛，其中an=an+iBn(n=1,2,) 实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零 lim a,=0 n-→oo mB.=0 从而得到 lim a=0
定理 4.3 复级数 收敛的必要条件是 1 n n a = lim 0. n n a → = 证明：级数 收敛的充要条件是实级数 和 均 收敛，其中 1 n n a = 1 n n = 1 n n = i ( 1,2, ). n n n a n = + = 实级数收敛的必要条件是其通项的极限为零. lim 0 n n → = lim 0 n n → = lim 0. n n a → = 从而得到
定义4.3对于复级数∑4，，若∑a,收敛，则称级数 n= n= 绝对收敛；若∑a发散，而∑an 收敛，则称级数条 n= 件收敛 定理4.4如果级数∑an绝对收敛，则∑a,也收敛， n= n= 且不等式∑as∑a,成立 n=1 n=l 证明：记a,=an+iBn,n=1,2,…∑la.=∑a,2+B. 由于la≤Van2+Bn2,lB≤Va,+pn ∑a,和∑Bn均收敛于是∑an收敛
定义 4.3 对于复级数 ，若 收敛，则称级数 绝对收敛；若 发散，而 收敛，则称级数条 件收敛. 1 n n a = 1 n n a = 1 n n a = 1 n n a = 定理 4.4 如果级数 绝对收敛，则 也收敛， 且不等式 成立. 1 n n a = 1 n n a = 1 1 n n n n a a = = 证明： i , 1,2, n n n 记 a n = + = 2 2 1 1 . n n n n n a = = = + 由于 2 2 2 2 , n n n n n n + + 1 n n = 1 n n = 和 均收敛. 于是 1 n n a = 收敛
m之a-2a k=1 故有 m∑a ≤lim∑laxb k=1 n→0 k=1 即 k=1 推论4.1设an=n+iBn,n=1,2,….则级数 ∑a绝对 n= 收敛的充要条件是级数∑α和∑Bn都绝对收敛
1 1 k k k k a a = = 1 1 lim k k n k k a a → = = = 故有 1 1 lim lim , k k n n k k a a → → = = 1 1 k k k k a a = = 即 推论 4.1 设 . 则级数 绝对 收敛的充要条件是级数 和 都绝对收敛. i , 1,2, n n n a n = + = 1 n n a = 1 n n = 1 n n =
例4.1下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ n 2+e6W+ n= 3” nl 由正项级数的比值判别法和。， 00 收敛， 故原级数为绝对收敛， n=1 2X0+-+2cs++分sn号 n n Im1+2cos7=1lm1+2)sn交=0， 1→00 n n 1m1+e%=1.∑1+e× 发散 n
例 4.1 下列级数是否收敛？是否绝对收敛？ i 1 1 1 (3i) 1 ( 1) 1 (1) ; (2) (1 )e ; (3) [ i] ! 3 π n n n n n n n n n n = = = − + + 解 (1) (3i) 3 , ! ! n n n n = 由正项级数的比值判别法和 收敛， 故原级数为绝对收敛. 1 3 ! n n n = (2) 1 1 1 i (1 ) (1 )cos i(1 )sin , n n n n n n + = + + + e 1 1 lim(1 )cos 1, lim(1 )sin 0, n n n n n n → → + = + = 1 i lim(1 ) 1. π e n n→ n + = i 1 1 (1 ) n n n = + e 发散
B)因为D收敛，立也收敛， n=l n 故原级数收敛， 但 为条件收敛，原级数为条件收敛 n=1
(3) 1 ( 1)n n n = − 1 1 3 n n = 因为 收敛， 也收敛， 故原级数收敛. 但 为条件收敛，原级数为条件收敛. 1 ( 1)n n n = −