3.收敛半径的求法 定理4.6若∑anz”的系数满足 n=0 lim= a,+1 P, n→oo lanl 则(1)当0<p<+o时R=1; (2)当p=0时，R=+o(处处收敛)； (3)当p=+o时，R=0(仅有一个收敛点-0) 证明：考虑正项级数 ∑lan2”=la+la2+…+an2”+… n=( lim n→0 an2
3. 收敛半径的求法 定理4.6 若 的系数满足 则(1)当 时， ； (2)当 时， (处处收敛)； (3)当 时，R=0(仅有一个收敛点z=0). 0 n n n a z = 1 lim , n n n a a → + = = 0 + 1 R = = 0 R = + = + 证明：考虑正项级数 0 1 0 n n n n n a z a z a a z = = + + + + 1 1 1 lim lim . n n n n n n n n a z a z z a z a + + + → → = =
若0<P<+∞，由正项级数的比值判别法知，当Pz<1 即1z<时，∑la,收敛，∑a,2从而收敛； n=0 当1，即时 71 故当n充分大时，有an+12≥anz”,所以，当n→o ，一般项a,2”不能趋于零，级数∑a,z”发散，故收敛 n=0 轻日 若p=0,则pz<1,对任何z,级数∑a,z”收敛，从 而∑anz收敛，即收敛半径R=+o. n=0
若 ，由正项级数的比值判别法知，当 即 时， 收敛， 从而收敛； 0 + z 1 1 z 0 n n n a z = 0 n n n a z = 当 z 1 ，即 时， 1 z 1 1 lim 1 n n n n n a z a z + + → 故当n充分大时，有 ，所以，当 ，一般项 不能趋于零，级数 发散，故收敛 半径 1 1 n n n n a z a z + + n → n n a z 1 R = 0 n n n a z = 若 ，则 , 对任何z，级数 收敛，从 而 收敛，即收敛半径 . = 0 z 1 0 n n n a z = 0 n n n a z = R = +