三、函数的特性 3.函数的奇偶性 设函数y=fx)的定义域为D关于原点对称：即若xeD,则-reD 如果对于任一xeD,有 (1)f(-x)=f(x) (2)f-x)=-fx) 则称x)为偶函数. 则称x)为奇函数。 y=f(x) f(-x) f(x) -xO x 奇函数的图形关于原点对称 偶函数的图形关于y轴对称
三、函数的特性 x 3.函数的奇偶性 设函数 y = f(x )的定义域为 D 关于原点对称： 即若 x ∈ D, 则 −x ∈D 如果对于任一 x ∈ D, 有 （1） f ( − x ) = f ( x ) 则称 f(x ) 为偶函数. （2） f ( − x ) = − f ( x ) 则称 f(x ) 为奇函数. f ( − x ) y x f ( x ) o x - x y y = f ( x ) x f (− x) y = f (x) - x o x f (x) 偶函数的图形关于 y 轴对称 奇函数的图形关于原点对称
三、函数的特性 4.函数的周期性 (1)定义：设函数的定义域为D.如果存在一个正数T, 使得对于任x∈D,x+TeD,,有 f(x+T)=f(x) 则称y为周期函数，T称为x的周期.（通常函数的周期是指最小正周期7） 周期函数的图形特点：在函数的定义域内，每个长度为T的区间上 函数的图形有相同的形状
三、函数的特性 x 4.函数的周期性 （1）定义：设函数 f(x)的定义域为 D. 如果存在一个正数 T , 使得对于任 ∀ x ∈ D， x + T ∈ D，， 有 f ( x + T ) = f ( x ) 则称 f(x)为周期函数, T 称为 f(x)的周期.（通常函数的周期是指最小正周期 T ） 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为 T 的区间上 函数的图形有相同的形状. 2 l − 2 l 2 3 l − 2 3 l
四、反函数 1.反函数的定义 2.反函数的性质 设函数y=f(x),定义域D, 性质1： 把函数y=f(x),和它的反函数 值域为W,如果对于W中 )的图形画在同一坐标平面上，这两个图 形关于直线户x是对称的， 的每一个y值，都有唯一 的x(x∈D)可适合关系 性质2：若y=f(x)是定义在区间1上的单 式f(x)=y,这样所确定的 调递增（递减）函数，则它的反函数必 以y为自变量的函数叫做函 定存在，且也是f()上的单调递增（递减） 数y=f(x)的反函数.记作 函数 x=f(y),它对定义域为 注记：习惯上自变量用x表示，因变量用y W,值域为D. 表示，即把x=广(y)中的x,y互换， 写为y=f(x),x∈f)
四、反函数 1.反函数的定义 2.反函数的性质 设函数 y = f (x), 定义域 D ， 值域为W ，如果对于W 中 的每一个 y 值，都有唯一 的 x （ x ∈ D ）可适合关系 式 f () , x = y 这样所确定的 以 y 为自变量的函数叫做函 数 y = f (x) 的反函数.记作 1 xf y( ) − = ，它对定义域为 W ，值域为 D . 性质 1： 把函数 y = f (x), 和它的反函数 y=f −1(x) 的图形画在同一坐标平面上, 这两个图 形关于直线 y=x 是对称的. 性质 2 ： 若 y f = ( ) x 是定义在区间 I 上的单 调递增（递减）函数, 则它的反函数 y=f −1(x)必 定存在, 且 f −1也是 f(D)上的单调递增（递减） 函数. 注记：习惯上自变量用 x 表示, 因变量用 y 表示,即把 1 xf y( ) − = 中的 x y, 互换， 写为 1 yfx( ) − = ， x ∈f(D)
三、反函数 例1判断下列函数是否有反函数 (1)y=x2, (2)y=x2,(x≥0) 解：(1)显然y=x2的定义域为(-0，+)值域为[0，+o).因此当ye[0,+o) 时，由y=x2知x=±万不唯一所以y=x2没有反函数. (2)当y=x2,(x≥0)时，对任意的y∈[0，+∞)时有唯一点的x=√下与之 对应，所以y=x2有反函数
三、反函数 例 1 判断下列函数是否有反函数 （1） 2 y x = , （2） 2 yxx = ,( 0) ≥ 解：（1）显然 2 y x = 的定义域为(,) −∞ +∞ 值域为[0, ) +∞ .因此当 y∈[0, ) +∞ 时，由 2 y x = 知 x = ± y 不唯一所以 2 y x = 没有反函数. （2）当 2 yxx = ≥ ,( 0)时，对任意的 y ∈[0, ) +∞ 时有唯一点的 x y = 与之 对应，所以 2 y x = 有反函数
三、反函数 例2求函数y=-√-的反函数 解：(1)显然y=-Vx-i的定义域为L,+o)值域(-，0] (2)由表达式y=-√x-1知，对于(-0,0的每一个y值，都有唯一的x值 (x∈D)x=y+1,适合关系式y=-√x-因此函数y=-x-i的反函 x=y2+1,y≤0 (3)对调x,y则y=-√-的反函数可以表示为y=x2+1x≤0
三、反函数 例 2 求函数 y x =− −1 的反函数 解：（1）显然 y x =− −1 的定义域为[1, ) +∞ 值域( ,0] −∞ （2）由表达式 y x = − −1 知，对于( ,0] −∞ 的每一个 y 值，都有唯一的 x 值 （ x ∈ D ） 2 x y = +1，适合关系式 y x = − −1 因此函数 y x = − −1 的反函 2 x y = +1， y ≤ 0 （3）对调 x y, 则 y x = − −1 的反函数可以表示为 2 y x = +1 x ≤ 0