第一章随机事件与概率 第11页 1.4.2 乘法公式 设A,B,C为事件，且P(AB)>0,则有 P(ABC)=PCAB P(BA)P(A) 三个事件的 乘法公式 推广设A1,42,An为n个事件，n22, 且P(A4.A)>0,则有 P(A42.A)=P(AAA2.An-)× P(An-4142.An-2)×.×P(A4)P(A) 注意 先发生的事件做为条件！ 4 April 2025
第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第11页 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 P A A A A P A A P A P A A A P A A A A n n n n n = − − − 且 P(A1A2 A n−1 ) 0, 则有 , , , , 2, 推广 设 A1 A2 An 为n 个事件 n 设 A,B,C 为事件,且 P(AB) 0, 则有 三个事件的 乘法公式 注意 先发生的事件做为条件！ 𝑃 𝐴𝐵𝐶 =𝑃 𝐶ȁ𝐴𝐵 𝑃 𝐵ȁ𝐴 𝑃 𝐴 1.4.2 乘法公式
第一章随机事件与概率 第12页 乘法公式的应用 ⑩乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率 ⑩一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个 一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率 ⑩解：记A=“第i次取出的是不合格品” B=“第次取出的是合格品”，目的求P(BB24) 用乘法公式 90 8910 P(B B2A3)=P(B)P(B2 B)P(A:B B2)= 100 9998 4 April 2025
第一章 随机事件与概率 4 April 2025 第12页 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个 一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai =“第i 次取出的是不合格品” Bi =“第i 次取出的是合格品”, 目的求 P(B1B2A3 ) 用乘法公式 P(B1B2A3 )=P(B1 )P(B2 |B1 ) P(A3 |B1B2 ) = 乘法公式的应用
若事件B,B,Bn是样本空间2的一组分割，且RB)>0,A为一个事件 A=AB1UAB2UUAB元 由B;B;=0→(AB)(AB1)=0 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+.+P(ABn) =P(AIB1)P(B1)+P(AIB2)P(B2)+.+P(AIBn)P(Bn) B2 B1 化整为零 各个击破 B3
由 𝐵𝑖𝐵𝑗 = ∅ ⇒ (𝐴𝐵𝑖 )(𝐴𝐵𝑗 ) = ∅ 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴𝐵1 ) + 𝑃(𝐴𝐵2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝐵𝑛) 𝐴 𝐵1 𝐵2 𝐵3 ⋯ 𝐵𝑛−1 𝐵𝑛 𝐴 = 𝐴𝐵1 ∪ 𝐴𝐵2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴𝐵𝑛 = 𝑃(𝐴ȁ𝐵1 )𝑃(𝐵1 ) + 𝑃(𝐴ȁ𝐵2 )𝑃(𝐵2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴ȁ𝐵𝑛)𝑃(𝐵𝑛). 化整为零 各个击破 若事件B1 , B2 , ······, Bn是样本空间的一组分割，且 P(Bi )>0，𝑨 为 一个事件
1.4.3 全概率公式 000 定理 设试验E的样本空间为2，A为E的事件， B1,B2,.,Bn为2的一个划分，且P(B)>0(i= 1,2,n),则 P(A)=P(AlB1)P(B1)+P(AlB2)P(B2)+. +P(AlBn)P(Bn) 全概率公式
全概率公式 定理 设试验 𝐸 的样本空间为 , 𝐴 为 𝐸 的事件, 𝐵1 , 𝐵2 , ⋯ , 𝐵𝑛为 的一个划分, 且 𝑃(𝐵𝑖 ) > 0(𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛), 则 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴ȁ𝐵1 )𝑃(𝐵1 ) + 𝑃(𝐴ȁ𝐵2 )𝑃(𝐵2 ) + ⋯ +𝑃(𝐴ȁ𝐵𝑛)𝑃(𝐵𝑛) 1.4.3 全概率公式