§2由平行截面面积求体积 2为三维空间中一立体，它夹在垂直于x轴的两平 面x=a,x=b之间(a<b).x∈a,b],作垂直于x 轴的平面，截得2的截面面积为A(x), A(x) 前页 返回
前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). x a b [ , ] , 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). a b x A x( ) 返回
若Ac)在[a,b]上连续，则2的体积为 V=∫Ax)d. 证设T:a=x,<x1<.<xn=b是[a,b]的一分割， [c-,x]上A(x)的最大、最小值分别为M,m, 则第i个小薄片的体积△V,满足 m,≤△V;≤Mx, 于是 mds i=1 前页 返回
前页 后页 返回 ( )d . b a V A x x = 证 0 1 : [ , ] 设T a x x x b a b = = n 是 的一分割, 1 [ , ] ( ) , , i i i i x x A x M m − 上 的最大、最小值分别为 若A(x) 在 [ , ] , a b 上连续 则 的体积为 Δ i 则第 i V 个小薄片的体积 满足 Δ Δ Δ , m x V M x i i i i i 于是 1 1 1 Δ Δ Δ . n n n i i i i i i i i m x V V M x = = = =
当T-→0时， 2M4,→广4xd,m4→广Ad 因此V=心Ax)dk. 前 后页 返回
前页 后页 返回 当 T → 0 时, 1 ( )d , n b i i a i M x A x x = → 1 ( )d . n b i i a i m x A x x = → 因此 ( )d . = b a V A x x
如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截 面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A(x)表示过点 0 x且垂直于x轴 的截面面积，A(x)为x的已知连续函数 dy=A(x)dx, 立体体积V=∫Ax)dc. 前页 返回
前页 后页 返回x o a x x + dx b 如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截 面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分 来计算. A( x)表示过点 x且垂直于x 轴 的截面面积， A(x)为x 的已知连续函数 dV = A(x)dx, ( ) . = b a 立体体积 V A x dx
例1求由两个圆柱面x2+y2=a2与z2+x2=2所 围立体的体积 ↑ 解先求出立体在第一卦限的体积V.x,∈[O,a, x=x,与立体的截面是边长为√a2-x?的正方形， 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 2 2 2 2 2 2 x y a z x a + = + = 与 所 围立体的体积. 2 2 0 0 x x a x = − 与立体的截面是边长为 的正方形, 解 1 0 先求出立体在第一卦限的体积V x a . [0, ] , y x z O a a x0 a