§5微积分学基本定理 本节将介绍微积分学基本定理，并 用以证明连续函数的原函数的存在性 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法与分部积分法 三、泰勒公式的积分型余项 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §5 微积分学基本定理 一、变限积分与原函数的存在性 本节将介绍微积分学基本定理, 并 用以证明连续函数的原函数的存在性. 在此基础上又可导出定积分的换元积 分法与分部积分法. 三、泰勒公式的积分型余项 二、换元积分法与分部积分法 返回
一、变限积分与原函数的存在性 设f在[a,b上可积，则x∈[a,b],f在[a,x上 可积.称D(x)=f()dt,x∈[a,b]为变上限的定 积分；类似称平(x)=∫心f)为变下限的定积分 定理9.9（变上限定积分的连续性） 若f在a,b1上可积，则(x)=f()dt在Ia,b] 上连续. 证Vx∈[a,b小，若x+△x∈[a,b],则 前页 边
前页 后页 返回 一、变限积分与原函数的存在性 设 在 上可积, 则 在 上 f a, b x a, b f a, x [ ] [ ], [ ] 积分; 类似称 ( ) ( )d b x x f t t = 为变下限的定积分. 定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 ) 若 在 上可积 f a, b [ ] , ( ) ( )d [ , ] x a 则 在 x f t t a b = 证 x [a, b], 若x + x [a, b], 则 上连续. ( ) ( )d , [ , ] x a 可积. 称 x f t t x a b = 为变上限的定
Ao=∫a“f)di-∫f)df=ft)d. 因f在[o,b]上有界，故3M,|f(t)川≤M,x∈[a,b. 于是Ao1f0d≤MA,从而 im△D=0.由x的任意性，f在[a,b]上连续 1x→0 定理9.10（微积分学基本定理) 若f在[a,b]上连续，则D(x)=∫fu)dt在[a,b 上处处可导，且 )d-)x 前 返回
前页 后页 返回 Δ ( )d ( )d x x x a a f t t f t t + = − ( )d . + = x x x f t t 因 在 上有界 f a, b [ ] ,故 M f t x a b , | ( ) | , [ , ]. 于是 | Δ | ( )d | Δ | , x x x f t t x 从而 + = 定理9.10（微积分学基本定理) 若 f 在 [a, b] 上连续, ( ) ( )d [ , ] x a x f t t a b = 则 在 上处处可导,且 = = d ( ) ( )d ( ), [ , ]. d x a x f t t f x x a b x 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续. Δ 0 lim Δ 0. x → =
证x∈[a,b],当x≠0，且x+x∈[a,b]时， Jf0w=f+h0s0sL △Φ 人x 由于f在x处连续，因此 Φ'(x)=limf(x+B△c)=f(x). 注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 乎不相干的概念之间的内在联系，也证明了“连 续函数必存在原函数”这个重要结论. 前页
前页 后页 返回 证 + x a b x x x a b [ , ], 当 Δ 0, 且 Δ [ , ] , 时 Δ 1 Δ ( )d Δ Δ x x x f t t x x + = = f (x +x), 0 1. 由于 f 在 x 处连续，因此 Δ 0 ( ) lim ( Δ ) ( ). x x f x x f x → = + = 注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似 续函数必存在原函数”这个重要结论. 乎不相干的概念之间的内在联系, 也证明了“连
注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数， 所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必为 Fx)=∫f)dt+C. 用x=a代入，得F(a)=C;再用x=b代入，则得 ∫f0dt=Fb)-Fa. 定理9.11（积分第二中值定理）设f在[a,b小上可积 (①若函数g在[a,b]上单调减，且g(x)≥0，则存 在5∈a,b1,使f)gxd=g(afx)dx. 前页 返回
前页 后页 返回 注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数, ( ) ( )d . x a F x f t t C = + 用 代入,得 再用 代入,则得 x a F a C x b = = = ( ) ; ( ) d ( ) ( ). b a f t t F b F a = − 定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积. (i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g(x) 0, 则存 在 使 [ , ], a b ( ) ( )d ( ) ( )d . = a b a f x g x x g a f x x 所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为