§1平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 各种表示形式下的面积 一、直角坐标方程表示的平面图形的 面积 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 前页 返回
前页 后页 返回 §1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 一、直角坐标方程表示的平面图形的 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 面积 各种表示形式下的面积. 返回
定积分的元素法 回顾曲边梯形求面积的问题 曲边梯形由连续曲线y1 y=f(x) y=f(x)(f(x)≥0)、 x轴与两条直线x=M、 ol a b x x=b所围成。 A=∫fx)d 前页 边
前页 后页 返回 回顾 曲边梯形求面积的问题 = b a A f ( x)dx 定积分的元素法 曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y = f (x)( f ( x) 0) 、 x轴与两条直线x = a 、 x = b所围成。 a b x y o y = f (x)
面积表示为定积分的步骤如下 (1)把区间a,b]分成个长度为△x,的小区间 相应的曲边梯形被分为1个小窄曲边梯形，第 小窄曲边梯形的面积为M4,则A=∑A4: i-1 (2)计算△A,的近似值 △4：≈f(5)△x,5:∈△x (3)求和，得A的近似值A≈∑∫传，)△x,: i=1 前页 返回
前页 后页 返回 面积表示为定积分的步骤如下 （1）把区间[a,b]分成n 个长度为xi 的小区间， 相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i 小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 = = n i A Ai 1 . （2）计算Ai 的近似值 i i xi A f ( ) i xi （3） 求和，得A的近似值 ( ) . 1 i i n i A f x =
(4)求极限，得A的精确值 A=im)Ax,=f(x)ds 20 面积元素 提示若用△A表示任一小区间 [比，x+△上的窄曲边梯形的面积，忄 y f(x) 则A=∑△A,并取△A≈f(x) 于是A≈∑f(x) o a xx+d5x A=lim∑fx)dc=∫fx)ds. 前顶
前页 后页 返回 a b x y o y = f (x) （4） 求极限，得A的精确值 i i n i A = f x = → lim ( ) 1 0 = b a f (x)dx 提示 若用A 表示任一小区间 [x, x + x]上的窄曲边梯形的面积， 则A = A，并取A f ( x)dx， 于是A f (x)dx A = lim f (x)dx ( ) . = b a f x dx x x + dx dA 面 积 元 素
当所求量U符合下列条件： (1)U是与一个变量的变化区间a,b]有关 的量； (2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说， 如果把区间，b分成许多部分区间，则U相 应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之 和 (3)部分量△U的近似值可表示为f(5:)△x;: 就可以考虑用定积分来表达这个量J 前页 返回
前页 后页 返回 当所求量U 符合下列条件： （1）U 是与一个变量x 的变化区间a,b 有关 的量； （2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相 应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之 和； （3）部分量Ui的近似值可表示为 i xi f ( ) ； 就可以考虑用定积分来表达这个量U