§2牛顿一莱布尼茨公式 显然，按定义计算定积分非常困难， 须寻找新的途径计算定积分.在本节中， 介绍牛顿一莱布尼茨公式，从而建立了 定积分与不定积分之间的联系，大大简 化了定积分的计算， 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 显然, 按定义计算定积分非常困难, §2 牛顿－莱布尼茨公式 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算. 返回
若质点以速度v=v(①作变速直线运动，由定积分 定义，质点从时该到b所经过的路程为s=」)d, 另一方面，质点从某时刻a到时刻b所经过的路 程记为s(b)-s(o,则s'（(t)=vt)于是 s=∫(t)dt=sb)-s(a. 注意到路程函数s)是速度函数yt)的原函数， 因此把定积分与不定积分联系起来了，这就是下 面的牛顿一莱布尼茨公式。 前 返回
前页 后页 返回 若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分 ( )d ( ) ( ). b a s v t t s b s a = = − 注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, ( )d b a s v t t = 定义 ,质点从时该a到b所经过的路程为 . 另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路 程记为 s(b)- s(a), 则 s t v t ( ) ( ), = 于是 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下 面的牛顿—莱布尼茨公式
定理9.1（牛顿一莱布尼茨公式） 函数f在a,b]上满足条件： (①f在[a,b]上连续， (Df在[，b上有原函数F, 则 (I)f在[a,b1上可积； (2)Jf(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续, (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F, 则 (1) f 在 [a, b] 上可积; (2) f (x)dx F(x) F(b) F(a). b a b a = = −
证因f在[a,b]上一致连续，则Hε>0,36>0， 当x',x"∈[a,b],x'-x"k6时， If(x)-f(x")<s. 任取5：∈x-1,xl,i=1,2,.,n.又F在K1, 上满足拉格朗日中值定理条件，3n,∈x-,x】, F(x)-F(x;)=F'(n)△x;=f(7)△x, 于是 前页 后页 返回
前页 后页 返回 证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0, 当 x x a b x x , [ , ], | | , − 时 | f (x) − f (x)| . 任取 i i i = [ , ], 1,2, , . x x i n −1 又 F 在 [ , ] i 1 i x x − 上满足拉格朗日中值定理条件, [ , ], i xi−1 xi ( ) ( ) ( ) ( ) , i i 1 i i i xi F x − F x − = F x = f 于是
(,-(F(b)-F(a) 2f-2(Fx,)-Fx) 空a-含m ≤f5)-f,川ys2sAy=&b-a, 因此，∫fx)dr=Fb)-F(a=Fx). 前页
前页 后页 返回 1 ( )Δ ( ( ) ( )) n i i i f x F b F a = − − , ( )d ( ) ( ) ( ) . b b a a f x x F b F a F x = − = 因此 1 1 1 ( )Δ ( ( ) ( )) n n i i i i i i f x F x F x − = = = − − 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x f x = = = − 1 1 | ( ) ( ) | Δ Δ ( ). n n i i i i i i f f x x b a = = − = −