§3有理函数和可化为 有理函数的不定积分 本节给出了求有理函数等有关类型的 不定积分的方法与步骤， 一、有理函数的部分分式分解 二、有理真分式的递推公式 三、三角函数有理式的不定积分 四、某些无理函数的不定积分 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §3 有理函数和可化为 一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的 四、某些无理函数的不定积分 三、三角函数有理式的不定积分 二、有理真分式的递推公式 有理函数的不定积分 不定积分的方法与步骤. 返回
一、有理函数的部分分式分解 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数， 其一般形式为： R(x)= P(c_a4x"+ax"-l+.+an Q(x)fxm+月xm-1+.+fm (a≠0，B。≠0)， m>n时称为真分式，m≤n时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 前页 返【
前页 后页 返回 1 0 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) n n n m m m P x x x R x Q x x x − − + + + = = + + + 有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, 一、有理函数的部分分式分解 m > n 时称为真分式, m ≤ n 时称为假分式. 假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. 0 0 ( 0, 0), 其一般形式为:
真分式又可化为4 Bix+C xa与e+p十q之和，其 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下： 1.对分母Qx)在实数系内作标准分解： 0(x)=(x-4)2(x-,)2(x2+px+g)(x2+p,x+,), 共种4eN且宫2：+4m p2-4g1<0,j=1,2,.,t. 2.根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 式.对应于(x-)的部分分式是 前页 返回
前页 后页 返回 1. 对分母 Q(x) 在实数系内作标准分解: 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , s t Q x x a x a x p x q x p x q s t t = − − + + + + 2 4 0, 1,2, , . j j p q j t − = + 1 1 , N , 2 , s t i j i j i j m = = 其中 + = 且 2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分 分解步骤称为部分分式分解.具体步骤简述如下: 真分式又可化为 2 2 (x px q) Bi x Ci + + + ( ) i i A x a − 与 之和,其 ( )k 式. 对应于 x a − 的部分分式是
A+4 x-a (x-a)2 (x-a) 对应于（x2+px+q)的部分分式是 Bx+C B,x+C2 Bx+Ck x2+px+g (x2+px+q)2 (x2+px+g) 把所有部分分式加起来，使之等于Q),由此确定 上述部分分式中的待定系数A;,B:,C· 前页
前页 后页 返回 . ( ) ( ) 2 1 2 k k x a A x a A x a A − + + − + − , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 k k k x px q B x C x px q B x C x px q B x C + + + + + + + + + + + + 把所有部分分式加起来,使之等于 Q(x), 由此确定 对应于 k (x px q) 2 + + 的部分分式是 上述部分分式中的待定系数 Ai , Bi , Ci
3.确定待定系数的方法 把所有分式通分相加，所得分式的分子与原分子 P心)应该相等.根据两个多项式相等时同次项系数 必定相等的原则，得到待定系数所满足的线性方程 组，由此解出待定系数 例1对Rx)= 2x4-x3+4x2+9x-10 作部分 x5+x4-5x3-2x2+4x-8 分式分解 前页 返回
前页 后页 返回 3. 确定待定系数的方法 把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子 分式分解. 组, 由此解出待定系数. 必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程 P(x) 应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数 例1 4 3 2 5 4 3 2 2 4 9 10 ( ) 5 2 4 8 x x x x R x x x x x x − + + − = + − − + − 对 作部分