§4定积分的性质 本节将讨论定积分的性质，包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理，这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 一、定积分的性质 二、积分中值定理 前页 后页 返回
前页 后页 返回 §4 定积分的性质 一、定积分的性质 本节将讨论定积分的性质, 包括定积分 的线性性质、关于积分区间的可加性、积 分不等式与积分中值定理, 这些性质为定 积分研究和计算提供了新的工具. 二、积分中值定理 返回
一、定积分的性质 性质1若f在[a,b]上可积，k为常数，则kf 在a,b上也可积，且∫kfx)dx=kfx)dx 证记J=∫心fx)dx.由f在a,上可积，故 e>0,36>0,当T<6时，对一切5∈x-,x, 2n山- 从而 前页 后页 返回
前页 后页 返回 [ , ] ( )d ( )d . b b a a 在 上也可积，且 a b k f x x k f x x = 证 ( )d . b a 记 J f x x = 由 在 上可积 故 f a b [ , ] , 一、定积分的性质 1 0, 0, [ , ], T x x i i i 当 时,对一切 − 1 ( )Δ . 1 n i i i f x J k = − + 从而 性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f
豆6a-制A空6a- 因此f在a,1可积，且fx)dr=kfx)d 性质2若f,g在a,b]上可积，则f±g在[a,b上 可积，且f)±g(x)de=f(x)dr±gx)dc. 证记，=∫fx)dx,J,=∫gx)dx.于是e>0, 36>0,当T<6时，V5∈x1,x,i=1,2,.,n, 前页 返回
前页 后页 返回 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i k f x kJ k f x J = = − = − 因此 kf a b 在[ , ] , 可积 ( )d ( )d . = ba ba 且 kf x x k f x x 性质 2 若 在 上可积 f g a b , [ , ] , 则 在 上 f g a b [ , ] 可积, 且 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x = 证 1 2 ( )d , ( )d . b b a a J f x x J g x x = = 记 于是 0, 1 0, [ , ], 1,2, , , T x x i n i i i = 当 时， − . 1 k k +
含-小2含-2 从而 2Gg传1-U+) 2传心-8- 22 因此，f士g在[a,b]上可积，且 前页 返回
前页 后页 返回 1 1 ( )Δ , 2 n i i i f x J = − 2 1 ( )Δ . 2 n i i i g x J = − 从而 1 2 1 [ ( ) ( ) ]Δ ( ) n i i i i f g x J J = − 1 2 1 1 ( )Δ ( )Δ n n i i i i i i f x J g x J = = − + − . 2 2 + = 因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
[心(fx)±gex)dc=心f)d±gx)dc. 性质3若f,g在[a,b]上可积，则fg在[a,b]上 也可积 证因f,g在[a,b1上可积，故在[a,b1上都有界， 即3M>0,x∈a,b],f(x)≤M,g(x)≤M, Ve>0存在分割T了，使习心<：又存在分 割T使∑a2M 前页
前页 后页 返回 性质3 若 f g a b f g a b , [ , ] [ , ] 在 上可积，则 在 上 证 因 在 上可积，故在 上都有界, f g a b a b , [ , ] [ , ] 即 M x a b f x M g x M 0, [ , ], ( ) , ( ) . 0, , Δ ; 2 f i i T T x M 存在分割 使 又存在分 Δ . 2 g i i T T x M 割 ，使 ( ( ) ( ))d ( )d ( )d . b b b a a a f x g x x f x x g x x = 也可积