§2换元积分法与分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算，相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式，不定积分有换元积分法和分 部积分法。 一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 前页 后页 返回
§2 换元积分法与分部积分法 一 、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法 不定积分是求导运算的逆运算, 相应 部积分法. 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 于复合函数求导数的链式法则和乘法
一、第一换元积分法 定理8.4（第一换元积分法） 设g(w)在Ia,B]上有定义，且g(u)du=G(0)+C. 又u=p(x)在a,b]上可导，且a≤p(x)≤B,x∈[a,b小 则」g(ox)p'(x)dr=g(udu =G()+C=G(p(x)+C.(1) 证因为dG(p(x)=G'(p(x)px)=go()9'(. dx 所以()式成立 前页
定理8.4 (第一换元积分法) 设 g (u) 在 [, ]上有定义， 且 g(u)du G(u) C. 又u (x)在[a,b]上可导，且 (x) , x [a,b]. 则 g((x)) (x)dx g(u)du G(u) C G((x)) C. (1) 证 d ( ( )) ( ( )) ( ) d G x G x x x 因为 g((x))(x). 一 、第一换元积分法 所以(1)式成立
第一换元积分法亦称为凑微分法，即 ∫g(p()p'(x)dr=∫g(p(x)dp(c)=G(p(x)+C, 其中G(w)=g(u).常见的凑微分形式有 (1)adx =d(ax); (2)dx=d(x+a); 同rr-a+de方④cos dx=d(si): ()⑤sinxdx=d(-cosx;(⑥dx=dlnx月 (7)sec'xdx=d(tanx);(8)+x dx =d(arctan x)
第一换元积分法亦称为凑微分法, 即 g((x)) (x)dx g((x))d(x) G((x)) C, (1) adx d(ax); (2) dx d( x a); 1 1 (3) d d( ); 1 x x x (4) cos xdx d(sin x); (5) sin xdx d(cos x); 1 (6) dx d(ln x ); x 2 (7) sec xdx d(tan x); 2 d (8) d(arctan ). 1 x x x 其中G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
dx (a>0) 解 arctan~+C. L 前过 后页
例1 ( 0). d 2 2 a a x x 求 解 2 2 2 1 d d 1 a x a x a x a x 2 1 d 1 u a u u C a arctan 1 arctan . 1 C a x a
2求 dx (a≠0). 解1n"。4a 号 x+a 2xal 1Inx-a +C, 2ax+a 前 后页 返回
例2 ( 0). d 2 2 a x a x 求 解 2 2 d 1 1 1 d 2 x x x a a x a x a 1 d( ) 1 d( ) 2 2 x a x a a x a a x a ln | | 2 1 ln | | 2 1 x a a x a a ln . 2 1 C x a x a a