《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第4章 一元函数积分学及其应用 Ch4-3 定积分的应用（1/2）几何应用

例5.计算阿基米德螺线 r =α0(α>0)对应 θ 从0变到2元所围图形面积V2元2元a)2 d6解：0X02de22元一a3A23043.2Q元3点击图片任意处播放开始或暂停o0000x机动目录上页下页返回结束

例5. 计算阿基米德螺线 对应  从 0 变 解: x 2 a o  d (  ) d 2 1 2 a  = 2 0 A 2 2 a =       3 3 1  0 2 3 2 3 4 =  a 点击图片任意处 播放开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 到 2 所围图形面积

例6.计算心形线 r =a(1+cosの)（α>0)所围图形的面积。1(利用对称性）+ cos0)2 de解：22Jo4. 0元2de4cosdeJo2001022ax22dtVcosa0331元8a元a4222O0000X心形线目录上页下页返回结束

8a cos t dt 2 0 2 4  =  例6. 计算心形线 所围图形的 面积 . 解: o 2a x  d (1 cos ) d 2 1 2 2 a +  =  0 2 a   d 2 4cos4 (利用对称性) 2  令t = =  2 8a  4 3  2 1 2  2 2 3 =  a 心形线 目录 上页 下页 返回 结束

例7.计算心形线 r = α(1+cos)（α>0)与圆 r =α所围图形的面积解：利用对称性，所求面积元1(1 + coso)2 do+2A=一元aaπ-222?11元22+2cos0+=cos20)d 0元ata元2222121132元-2元aQ24a2a x522-2a一元a4O000X机动自录上页下页返回结束

  2 1+ 2cos + cos (1 cos 2 ) 2 1 +  o a 2a x y (1 cos ) d 2 1 2 2 +  a 例7. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , + 2 2 2 1 A =  a  = + 2 2 2 1  a a  cos 2 )d 2 1 2cos 2 3 ( + + 所求面积 2) 4 3 ( 2 1 2 2 =  a + a  − 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8.求双纽线 r2=α2cos20 所围图形面积解：利用对称性，则所求面积为122 cos20 d04-aJ元01042元2cos 20 d(20)Jox元[sin 20]4=α2元04思考：用定积分表示该双纽线与圆 r=α/2sinO所围公共部分的面积，元14答案: A= 2[]°α2 sin2 cos20 dθlede6210000x机动目录上页下页返回结束

a sin 2  2 = a 例8. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , cos2 d 2 1 2 a  = 4 0 2  a cos 2 d(2 ) 则所求面积为 2 = a 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r = a 2sin 所围公共部分的面积 . A = 2    sin d 2 0 6 2  a      cos 2 d 2 14 6 2  + a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y o x 4   = 4   = − 答案:

三、平面曲线的弧长定义：若在弧AB上任意作内接折线，当折线段的最大边长入一0时，折线的长度趋向于一个确定的极限，则称此极限为曲线弧AB的弧长，即Mi-lM;ynZs = lim[M;-1M;->0B=M,i-1A= Mo并称此曲线弧为可求长的0x定理：任意光滑曲线弧都是可求长的(证明略)O0000x机动自录上页下页返回结束

三、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , = M0 Mi−1 Mi = Mn A B y o x 当折线段的最大 边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的. Mi−1Mi 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的. (证明略)  = n i 1 0 lim → =  s 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称