第五章第三节高阶微分方程(1)可降阶的高阶微分方程：J(n)=f(x) 型的微分方程二、 "=f(x,J)型的微分方程三、 y"=f(y,y)型的微分方程000l00机动目录上页下页返回结束
高阶微分方程(1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程 第五章 可降阶的高阶微分方程:
一、 J(n)=f(x)型的微分方程dz令z= J(n-1),则=y(n)= f(x),因此dxz = J f(x)dx+Ci即y(n-1) =J f(x) dx+Ci(n-2) = J[J f(x)dx +C Jdx +C2同理可得= J[J f(x)dx Jdx +Cjx+C2依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解oe000x机动自录上页下页返回结束
一、 ( ) ( ) y f x n = 令 , ( −1) = n z y 因此 d 1 z = f (x) x +C 即 同理可得 2 ( 2) y dx C n = + − dx = 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . 1 C2 +C x + 型的微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求解 y" = e2x - cos x.e2r- cos x )dx +C解："=12x- sin x + Cie22x+cos x +C'x+C2e412xe+sin x +Cx*+C2x+C8C'(此处C)一2Oe000?机动目录上页下页返回结束
例1. 解: ( ) 1 2 y e cos x dx C x = − + 1 2 sin 2 1 e x C x = − + x y e 2 4 1 = x y e 2 8 1 = + sin x 2 1 +C x 2 C3 +C x + + cos x 1 C2 +C x + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.质量为m的质点受力F的作用沿0x轴作直线运动设力 F仅是时间t的函数：F=F（t).在开始时刻t = O 时 F(O)= Fo，随着时间的增大,此力 F均匀地减小,直到t= T时F(T)=O.如果开始时质点在原点，且初初速度为0，求质点的运动规律解：据题意有Fd? xFFm4(t)0dt2Fo(1-mdxt=0 =00T tdt对方程两边积分，得O0000X机动目录上页下页返回结束
例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 在开始时刻 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F(T) = 0 . 如果开始时质点在原点, 解: 据题意有 t F o T F0 F = (1 ) 0 T t m F = − (1 ) 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 小, 初初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2Fodx(tdt2Tmdxt=0 = 0 得Ci = 0, 于是利用初始条件dt2dxFodt2Tm3Fo两边再积分得x261m再利用xt=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为Fo2x2m3TO0000x机动自录上页下页返回结束
1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x = − + 利用初始条件 0, 得C1 = 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x = − 两边再积分得 2 2 3 0 ) 2 6 ( C T t t m F x = − + 再利用 0, 得 C2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束