例2.计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围图形的面积，2x得交点解:由Ly? =2xy=x-4(8,4)y+dy(2, -2), (8,4)J为简便计算，选取y作积分变量X=x-4V则有(2, -2)y+4-y)dy=[y2 + 4y-3 ]-2=18O000X机动目录上页下页返回结束
x y 2x 2 = o y y = x − 4 例2. 计算抛物线 y 2x 2 = 与直线 的面积 . 解: 由 得交点 (2, − 2) , (8, 4) (8,4) d A ( y 4 y )dy 2 2 1 = + − =18 y = x − 4 所围图形 (2,− 2) 为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有 y y + d y − = 4 2 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2YV例3.求椭圆1所围图形的面积+2b2ayt解：利用对称性，有 dA= ydxbA=4/ydxxx+dxax利用椭圆的参数方程x =acost(0≤t≤2元)y=bsint应用定积分换元法得A= 4~ bsint ·(-asint)dt = 4absin' t dtJO=4ab.1.匹=παb当α=b时得圆面积公式22o0o00x机动自录上页下页返回结束
a b o x y x 例3. 求椭圆 解: 利用对称性 , d A = y dx 所围图形的面积 . 有 = a A y x 0 4 d 利用椭圆的参数方程 (0 2 ) sin cos = = t y b t x a t 应用定积分换元法得 = 2 0 2 4 sin d ab t t = 4ab 2 1 2 = ab 当 a = b 时得圆面积公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x + d x
一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程x= @(t)y=y(t)给出时，按顺时针方向规定起点和终点的参数值t1，t2yVbax0xb0a(ti 对应 x= a)(ti 对应 x= b)则曲边梯形面积 A=y(t) ·p'(t) dt000x机动目录上页下页返回结束
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 则曲边梯形面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求由摆线x=a(t-sint),y=a(l-cost)(a>0)的一拱与 x轴所围平面图形的面积2元解: A =a(1-cost)·a(1-cost)dt02元y(1 - cost)? d ta2元tdtsin2元a x02?元28asin udu今儿=02四24udusinFJo31元2=16a3元a224 Oe000x机动自录上页下页返回结束
例4 . 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: dA = a(1− cost) a(1− cost)d t a (1 cost) d t 2 0 2 2 = − t t a d 2 4 sin 2 0 2 4 = ) 2 ( t 8a sin u d u 令u = 0 2 4 = 16a sin u d u 2 0 2 4 = 2 = 3 a = 2 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o 2 a
2.极坐标情形设β(の)C[α,β], (の)≥0,求由曲线 r =(O) 及射线=α,=β围成的曲边扇形的面积.在区间[α,β]上任取小区间[0,+d]则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为β(0)dA ==[(0)]2 d6de所求曲边扇形的面积为0[?(0)d1a2.50x1000X机动目录上页下页返回结束
2. 极坐标情形 求由曲线 及 围成的曲边扇形的面积 . r =( ) x d 在区间 上任取小区间 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 ( ) d 2 1 d 2 A = 所求曲边扇形的面积为 ( )d 2 1 2 A = 机动 目录 上页 下页 返回 结束