柯西积分公式 ■ Notel:只要函数z)在简单闭曲线C所围成的区域及C上解 析，则柯西积分公式成立 ■Note2:柯西积分公式可以将解析函数在C内部任一点的值 用其在边界上的值表示出来 ■ote3:一旦解析函数在区域边界上的值确定了，则其在 区域内部任一点处的值也就确定了 Note4:利用柯西积分公式可以计算某些复变函数沿闭路 积分的一种方法 推论：解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均值 0 lexu@mail.xidian.edu.cn
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lexu@mail.xidian.edu.c 第14讲复变函数积分（Ⅲ） 解析函数的高阶导 解析函数与调和函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 7
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解析函数高阶导 解析函数 ·不仅有一阶导数，而且其各高阶导数均存在 ·解析函数的值可以用函数在边界上的值通过积 分来表示 ■实变可导函数 ·仅在某一区间上可导 其导数在该区间上不一定连续 。 高阶导的存在与是否有一阶导无必然联系 lexu@mail.xidian.edu.cn
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解析函数的高阶导 ■[定理]解析函数f2) ·其导数仍为解析函数 ian.edu. ·其n阶导数为 n "(3)月 f(2) (d ■C为函数解析区域D内绕z,的任一条正向简单闭曲线 ■C的内部全含于D lexu@mail.xidian.edu.cn
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解析函数的高阶导 ■「证明]采用数学归纳法证明 f(2)月 f(z -dz 柯西 设z为D内任意一点 积分 公式 1 f() f(2+△2)= 2ic2-20-△2 ■当n=1时 f八(z)=im f(zo+Az)Hf(zo) 2→0 △z f②证 -20 f(z) lexu@mail.xidian.edu.cn 10
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