例2 计算 I=[,(x2-j)dx+(y2-x)dy其中L是沿逆时针方向以原点为中心，为半径的上半圆周解法1令P=x2- y, Q= y2-x,则apaQC0xay1这说明积分与路径无关，故BA(x2 - y)dx +(y2 -x)dy0 xAK23dx=a3
例2 计算 其中L是沿逆 时针方向以原点为中心, C o y B A x L 解法1 令 2 2 P x y Q y x = − = − , , 则 这说明积分与路径无关, 故 2 2 ( )d ( )d AB I x y x y x y = − + − 2 d a a x x − = a 为半径的上半圆周
解法2添加辅助线段则BA,它与L所围区域为D,=d(x2 -y)dx+(y2 -x)d yCL+BA-Jμ(x?-y)dx+(y -x)dy1BA x203=JJ,o.dxdy-}"x'dx-二0（利用格林公式）3思考(1）若L改为顺时针方向,如何计算下述积分：I, = J, (x2 - 3y)dx+(y2 - x)d y(②)若L同例2，如何计算下述积分：I, =J,(x2 -y +y2)dx+(y? -x)d y
解法2 BA, 它与L所围区域为D, C o y B A x L 0 d d D = x y 2 2 ( )d ( )d BA − − + − x y x y x y 2 d a a x x − − D (利用格林公式) 思考 (2) 若L同例2, 如何计算下述积分: 2 2 2 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 2 + y 2 2 1 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 3 2 3 3 = − a (1) 若L改为顺时针方向,如何计算下述积分: 2 2 ( )d ( )d L BA I x y x y x y + = − + − 添加辅助线段 则
思考题解答yC(1) I, = [,(x? - 3y)dx+(y2 -x)d yTD=f -[,L+AB4FBA x022= -2 [[dxdy+二a一元）1D33(2) I, =J,(x? -y +y')dx+(y2 -x)dy= J,(x2 - y)dx+(y2 -x)dy+f, y dxL:x=acost, y=asint, t:0→π= I-J"a' sin' tdt= -2a3
思考题解答 2 2 1 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 3 (1) L AB AB + = − 2 d d D = − x y 2 2 ( ) 3 = − a a 2 2 2 ( )d ( )d L I x y x y x y = − + − 2 + y (2) 2 2 ( )d ( )d L = − + − x y x y x y 2 d L + y x 3 3 0 a t t sin d − L x a t y a t : cos , sin , = = 3 = −2a t : 0 → 2 3 3 + a = I C o y B A x L D
例3计算曲面积分7VI=妤ddydz-dxdzdx-+其中,r=2++:2++2=R取外侧1$ dyda+yddx+zdxdy解TR31S3dxdydz =4元R39
例 3 计算曲面积分 其中 , 2 2 2 r x y z = + + , 2 2 2 2 + + = : x y z R 取外 解 3 1 3d d d x y z R = 侧